Um Curso de Cálculo, Volume 1
C.2 Demonstração da Propriedade (7) da Seção 2.2
a s r − a < ε.
Para todo x ∈ ]r, s[, teremos
| s r f ( x ) − f ( p )| < a − a < ε
o que prova a continuidade de f em p. Como p foi tomado de modo arbitrário, segue que f é contínua em ℝ. Se 0 < a < 1, a função
é contínua em r ℝ e coincide com a nos racionais.
Completamos, assim, a demonstração do teorema da Seção 6.1.
Vamos provar, agora, a propriedade (1) da Seção 6.1. Sejam r e s n n
duas sequências de números racionais que convergem, respectivamente, para x e y; segue que r + s converge para x + y. Da continuidade da n n
função x f ( x ) = a , segue
daí
(Observe que pois r e s são racionais.) n n
As demonstrações das demais propriedades ficam a seu cargo.
C.2 Demonstração da Propriedade (7) da Seção 2.2
Teorema. Existe a > 0 tal que cos a = 0.
Demonstração
Suponhamos, por absurdo, que não exista um tal número a. Como cos 0 = 1 e cos x é uma função contínua, segue do teorema do valor intermediário que cos x > 0 para todo x ≥ 0; como sen' = cos, teríamos que a função sen x seria estritamente crescente em [0, +∞[ e como sen 0 = 0, teríamos sen x > 0 em ]0, +∞[. De cos' = −sen, seguiria, então, que cos x seria estritamente decrescente em [0, +∞[. Como cos x ≥ 0 e sen x ≤ 1 em [0, +∞[, existiriam, então, reais α e β, com α ∈ ]0, 1] e β ∈ [0, 1[, tais que
Teríamos, também,
Como sen 2 2 x = 2 sen x cos x e cos 2 x = 2 cos x − 1, passando ao limite,
para x → +∞, resulta
α 2 = 2 αβ e β = 2 β − 1
que admite como única solução o par (α, β) em que α = 0 e β = 1, que contradiz a condição α ∈ ]0, 1] e β ∈ [0, 1[. Tal contradição é consequência de termos admitido a não existência de um a > 0, com cos a = 0. Fica provado assim que existe a > 0 com cos a = 0.
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Propriedade (7). Existe um menor número a > 0 tal que cos a = 0.
Demonstração
O conjunto A = {x > 0 | cosx = 0} é não vazio e limitado inferiormente; logo, admite ínfimo a. Provemos que a ∈ A. Se cos a ≠ 0, pela conservação do sinal, existe r > 0 tal que cos x ≠ 0 para a < x < a + r, que contradiz o fato de a ser o ínfimo de A. Segue que a é o mínimo de A, ou seja, a é o menor real > 0 tal que cos a = 0.
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