Um Curso de Cálculo, Volume 1
Apêndice A Propriedade do Supremo
A.1 Máximo, Mínimo, Supremo e Ínfimo de um
Conjunto
O objetivo desta seção é introduzir os conceitos de que necessitaremos para enunciar a propriedade do supremo. Como veremos, é esta propriedade que diferencia ℝ de ℚ; é, ainda, esta propriedade que torna o sistema dos números reais uma cópia perfeita da reta. O enunciado de tal propriedade será objeto da próxima seção.
Seja A um conjunto de números reais. O maior elemento de A, quando
existe, denomina-se máximo de A e indica-se por máx A. O menor elemento de A, quando existe, denomina-se mínimo de A e indica-se por mín A.
Dizemos que um número m é uma cota superior de A se m for máximo
de A ou se m for estritamente maior que todo número de A. Diremos que m é uma cota inferior de A se m for mínimo de A ou se m for estritamente menor que todo número de A.
Exemplo 1
Seja A = {1, 2, 3}. Temos:
a) 1 é o mínimo de A, 1 = mín A; 3 é o máximo de A, 3 = máx A.
b) 3, 100 são cotas superiores de A.
c) 1, 0, são cotas inferiores de A.
Exemplo 2
Seja A = {x ∈ ℝ| 1 ≤ x < 2}. Temos:
a) 1 = mín A.
b) Para todo t ∈ A, também pertence a A e t <
(verifique).
Assim, para todo t em A, existe um outro número em A que é
estritamente maior que t; logo, A não admite máximo.
c) Todo número m ≤ 1 é uma cota inferior de A.
d) Todo número m ≥ 2 é uma cota superior de A.
Um conjunto A pode não admitir máximo; entretanto, poderá admitir
uma menor cota superior. Por exemplo, o conjunto
não admite máximo, mas admite uma menor cota superior que é 2.
A menor cota superior de um conjunto A, quando existe, denomina-se
supremo de A e indica-se por sup A.
É claro que se A admitir máximo m, então, m será, também, o supremo
de A. Entretanto, A poderá não admitir máximo, mas admitir supremo; por exemplo, o conjunto A acima não admite máximo, mas admite supremo 2 : 2 = sup A.
A maior cota inferior de um conjunto A, quando existe, denomina-se
ínfimo de A e indica-se por inf A.
Se A admitir uma cota superior, então diremos que A é limitado
superiormente.
Se A admitir uma cota inferior, diremos que A é limitado inferiormente.
Exercícios A.1
1. Determine, caso existam, o máximo, mínimo, supremo e ínfimo.
a) A = {x ∈ ℝ| −3 ≤ x ≤ 4}
b) A = {x ∈ ℝ| −3 < x < 4}
c) A = {x ∈ ℝ| x < 5}
d) A = {x ∈ ℝ| x ≥ 2}