7.14 Interpretação de como um Quociente. Diferencial

9. A reta tangente à curva no ponto (x , y ), x > 0 e y > 0, 0 0 0 0

intercepta os eixos x e y nos pontos A e B, respectivamente. Mostre que a distância de A e B não depende de (x , y ). 0 0

 

10. 2 A reta tangente à curva xy − x = 1 no ponto (x , y ), x > 0, intercepta 0 0 0

o eixo y no ponto B. Mostre que a área do triângulo de vértices (0, 0), (x , 0 y ) e B não depende de (x , y ). 0 0 0

 

11. 2 2 A função y = f ( x ) é dada implicitamente pela equação 3 y + 2 xy − x = 3.

Sabe-se que, para todo x ∈ D , f(x) > 0 e que f admite uma reta tangente T f paralela à reta 5y − x = 2. Determine T.

 

7.14

Interpretação de como um Quociente.

Diferencial

Até aqui, tem sido visto como uma simples notação para a derivada de y =

f(x). O que faremos a seguir é interpretar como um quociente entre dois

acréscimos. Inicialmente, vamos olhar para dx como um acréscimo em x e, em seguida, procuraremos uma interpretação para o acréscimo dy.

Sabemos que f′(x) é o coeficiente angular da reta tangente T, no ponto (x,

f(x)), e que = f′(x). Se olharmos, então, para dy como o acréscimo na

ordenada da reta tangente T, correspondente ao acréscimo dx em x, teremos

= f′(x).

= f′(x) = tg α

ou

dy = f′(x)dx

 

Observe que

Δy = f(x + dx) − f(x)

é o acréscimo que a função sofre quando se passa de x a x + dx. O acréscimo dy pode então ser olhado como um valor aproximado para Δy; evidentemente, o erro “Δy − dy” que se comete na aproximação de Δy por dy será tanto menor quanto menor for dx.

Fixado x, podemos olhar para a função linear que a cada dx ∈ R, associa

dy ∈ R, em que dy = f′(x)dx. Tal função denomina-se diferencial de f em x, ou, simplesmente, diferencial de y = f(x).

Exemplo 1

Seja 2 y = x . Relacione Δy com dy.

Solução

 

Assim, a diferencial de 2 y = x é dada por

 

Por outro lado

Δ 2 2 y = ( x + dx ) − x

ou seja,

Δ 2 y = 2 x dx + ( dx )

e, portanto, Δ 2 y − dy = ( dx ) . Observe que, quanto menor for dx, mais

próximo estará dy de Δy.

 

Exemplo 2

Seja 2 A = π r . Calcule a diferencial de A = A(r). Interprete.

Solução

 

A diferencial de 2 A = π r é dada por

dA = 2πr dr.

Interpretação

A 2 = π r é a fórmula que nos fornece a área de um círculo em função do

raio r; dA = 2πr dr é então um valor aproximado para o acréscimo ΔA na

área A correspondente ao acréscimo dr em r.

 

Observe que ΔA é a área da região hachurada e que dA = 2πr dr é a

área de um retângulo de comprimento 2πr (2πr é o comprimento da

circunferência de raio r) e altura dr. Vamos calcular o erro que se comete

na aproximação

Temos

Δ 2 2 2 A = π( r + dr ) − π r = 2π r dr + π( dr )

daí

Δ 2 A − dA = π( dr ) .

Deste modo, o erro que se comete na aproximação a é igual a π( 2 dr ) ,

que é a área de um círculo de raio dr.

 

Exemplo 3

Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para o acréscimo

Δ 2 y que a função y = x sofre quando se passa de x = 1 a 1 + dx = 1,001.

Calcule o erro.

Solução

A diferencial de 2 y = x , em x, é:

dy = 2x dx.

Em x = 1

dy = 2dx.

Como dx = 0,001, resulta que

dy = 0,002

é um valor aproximado para o acréscimo

Δ 2 2 y = (1,001) − 1 .

O erro que se comete na aproximação Δy ≅ dy é igual a 0,000001.

Observe que 1 + 2 dy = 1,002 é um valor aproximado para (1,001) , com

erro igual a 10 –6 .

 

Exemplo 4

Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para

Avalie o erro.

Solução

Consideremos a função

Primeiro vamos calcular dy para x = 1 e dx = 0,01.

 

Temos:

Em x = 1,

 

Portanto, para dx = 0,01. Assim, 1 + dy = 1,005 é um

valor aproximado (por excesso) de Como 1,004 é um valor

aproximado por falta ((1,004) 2 < 1,01) segue que

 

com erro, em módulo, inferior a 0,001.

 

Exercícios 7.14

 

1. Calcule a diferencial.

a 3 ) y = x

b 2 ) y = x − 2x