Um Curso de Cálculo, Volume 1
D.4 Integrabilidade de Função Limitada com Número Finito de Descontinuidades
Assim, para toda partição P de [a, b], com máx Δx < δ, teremos i
e, portanto,
(Veja ⑤ de D.2.)
Ou seja, f é integrável em [a, b], com integral = L, em que L é o ínfimo das somas superiores de f em [a, b].
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D.4 Integrabilidade de Função Limitada com Número
Finito de Descontinuidades
Lema. Se F for crescente em [a, b[ e se existir M tal que, para todo x em [a, b[, F(x) ≤ M,
então existirá um real L tal que
Demonstração O conjunto {f(x) | x ∈ [a, b [} é não vazio e limitado superiormente por M, logo admite supremo L. Dado ε > 0, existe x em [a, b[ tal que 0
L − ε < F (x ) ≤ L 0
e, portanto, pelo fato de F ser crescente
x < x < b ⇒ L − ε < F (x) ≤ L 0
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Teorema. Se f for limitada em [a, b] e contínua em [a, b[, então f será integrável em [a, b].
Demonstração
Vamos supor, inicialmente, f(x) ≥ 0 em [a, b]. Como f é contínua em [a, b[, para todo t em [a, b[, existe. Seja
Como f(x) ≥ 0 em [a, b] e limitada neste intervalo, resulta que F é
crescente e limitada em [a, b[; pelo lema, existe L tal que
Vamos provar que f é integrável em [a, b] e que = L. Como f é
limitada, existe M > 0 tal que, para todo x em [a, b], 0 ≤ f(x) ≤ M. Tendo em vista ①, dado ε > 0, existe b , a < b < b, tal que 1 1
Podemos escolher b de modo que M(b − b ) < Por outro lado, 1 1
existe δ > 0 (que pode ser tomado de modo 2M δ < ) tal que, para toda
partição P de [a, b ], com máx Δx < δ, 1 1 i
Temos, também, para toda partição P de [b , b], 2 1
Seja, agora, uma partição P qualquer de [a, b], com máx Δx < δ, e i
suponhamos que b ∈ [x , x ] 1 j − 1 j
temos
Portanto, f é integrável em [a, b] e
Deste modo, o teorema fica provado no caso f(x) ≥ 0 em [a, b]. Se f não
verifica esta condição, pelo fato de f ser limitada em [a, b], existirá α > 0 tal que f(x) + α ≥ 0 em [a, b]. Pelo que vimos acima, f(x) + α será então integrável em [a, b]. Para todo x em [a, b]
f(x) = [ f(x) + α] − α
logo, f é integrável em [a, b], por ser soma de duas integráveis em [a, b].
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