Um Curso de Cálculo, Volume 1
A.2 Propriedade do Supremo
f) A = {x ∈ ℝ| |3x − 1 | > 1}
g) A = {−3, −1, 0, 2, 1}
2. Assinale os conjuntos do Exercício 1 que são limitados superiormente.
3.
é limitado superiormente? Por quê?
A.2 Propriedade do Supremo
Admitiremos a seguinte importante propriedade dos números reais.
Propriedade do supremo. Todo conjunto de números reais, não vazio e limitado
superiormente, admite supremo.
Pelo fato de ℝ satisfazer a propriedade do supremo, diremos que ℝ é
um corpo ordenado completo. Os teoremas centrais do cálculo dependem desta propriedade de ℝ.
Uma consequência importante da propriedade do supremo é a
propriedade de Arquimedes.
Propriedade de Arquimedes. Se x > 0 e y são dois reais quaisquer, então existe pelo
menos um número natural n tal que
nx > y.
Demonstração
Suponhamos, por absurdo, que para todo natural n, nx ≤ y; consideremos então o conjunto
A é não vazio (1 · x = x ∈ A) e limitado superiormente por y, logo
admite supremo. Seja s o supremo de A. Como x > 0, s − x < s; assim, s − x não é cota superior de A (por quê?); logo existe um natural m tal que
s − x < mx
e daí
s < (m + 1) x
que é uma contradição, pois s é o supremo de A e (m + 1) x ∈ A. Deste modo, supor nx ≤ y para todo natural n leva-nos a uma contradição; logo, nx > y para algum natural n.
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