Um Curso de Cálculo, Volume 1
13.3 Volume de um Sólido Qualquer
Vimos no parágrafo anterior que é a fórmula que nos fornece o
volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto 2 A = {( x , y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}. Observe que
é a área da interseção do sólido com o plano perpendicular ao eixo x e passando pelo ponto de abscissa x. Assim, o volume mencionado anteriormente pode ser colocado na forma
Seja, agora, B um sólido qualquer, não necessariamente de revolução e seja
x um eixo escolhido arbitrariamente. Suponhamos que o sólido esteja compreendido entre dois planos perpendiculares a x, que interceptam o eixo x em x = a e em x = b. Seja A (x) a área da interseção do sólido com o plano perpendicular a x no ponto de abscissa x. Suponhamos que a função A (x) seja integrável em [a, b]. Definimos, então, o volume do sólido por
Exemplo
Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo 2 2 2 x + y ≤ r , y ≥
0, e cujas seções perpendiculares ao eixo x são quadrados.
Solução
ou seja,
Exercícios 13.3
1. 2 2 2 Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo x + y ≤ r , y ≥ 0,
e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulos equiláteros.
2. 2 2 Calcule o volume do sólido cuja base é a região 4 x + y ≤ 1 e cujas
seções perpendiculares ao eixo x são semicírculos.
3. Calcule o volume do sólido cuja base é o quadrado de vértices (0, 0), (1,
1), (0, 1) e (1, 0) e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles de altura 2 x − x .