Um Curso de Cálculo, Volume 1
7.8 Função Derivada e Derivadas de Ordem Superior
[ f(x)g(x)h(x)]′ = f′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x) + f(x)g(x)h′(x).
14. Calcule F′(x) sendo F(x) igual a
a x ) x e cos x
b 2 ) x (cos x)(1 + ln x)
c x ) e sen x cos x
7.8 Função Derivada e Derivadas de Ordem Superior
Sejam f uma função e A o conjunto dos x para os quais f′(x) existe. A função f′: A ↦ ℝ dada por x ↦ f′(x), denomina-se função derivada ou, simplesmente, derivada a de f ; diremos, ainda, que f ′ é a derivada de 1 ordem de f. A derivada de 1 a (1) ordem de f é também indicada por f .
A derivada de a f ′ denomina-se derivada de 2 ordem de f e é indicada por f″
ou por (2) f , assim, f″ = (f′)′. De modo análogo, define-se as derivadas de ordens superiores a 2 de f.
Exemplo 1
Seja 3 f ( x ) = 3 x – 6x + 1. Determine f′, f″ e f′″.
Solução
Exemplo 2
Seja
Esboce os gráficos de f e f′.
Solução
Para 2 x < 1, f ( x ) = x , daí f′(x) = 2x.
Para x > 1, f(x) = 1, daí f′(x) = 0.
Em 1 devemos aplicar a definição (se você já desenhou o gráfico de f,
deve estar prevendo que f′(1) não existe).
daí
Logo, f não é derivável em 1, isto é, f′(1) não existe. Portanto
Exercícios 7.8
1. Determine f′, f″ e f′″.
2. Esboce os gráficos de f, f′ e f″.
3. Determine a derivada de ordem n.
a x ) f ( x ) = e
b) f(x) = sen x
c} f(x) = cos x
d) f(x) = ln x 7.9 Notações para a Derivada