9.7 Condição Necessária e Condições Suficientes para Máximos e Mínimos Locais

Uma partícula vai de P a M com velocidade constante u e movimento retilíneo; em seguida, vai de M a Q com velocidade constante v, também, com movimento retilíneo. Mostre que o tempo de percurso será mínimo se

 

9.7 Condição Necessária e Condições Suficientes para

Máximos e Mínimos Locais

Sejam f uma função e p um ponto interior a D (p interior a D ⇔ existe um f f intervalo aberto I, com I ⊂ D e p ∈ I). Suponhamos f derivável em p. O f

nosso próximo teorema conta-nos que uma condição necessária, mas não suficiente, para que p seja ponto de máximo ou de mínimo local é que f′(p) = 0. A figura abaixo dá-nos uma ideia geométrica do que falamos acima.

Teorema 1. Seja f uma função derivável em p, em que p é um ponto interior a D . Uma condição f

necessária para que p seja ponto de máximo ou de mínimo local é que f′(p) = 0.

 

Demonstração

 

Suponhamos que p seja ponto de máximo local (a demonstração será análoga se p for ponto de mínimo local). Assim, existe r > 0 tal que

f(x) ≤ f(p) em ] p − r, p + r[ ⋂ D . f

Como, por hipótese, p é interior a D , podemos escolher r de modo que ] p f

− r, p + r[ ⊂ D . Assim f

f(x) ≤ f(p) para todo x em ] p − r, p + r[.

Como f é derivável em p, os limites laterais

existem e são iguais a f′(p):

 

 

Para pela conservação do sinal

 

logo, f′(p) ≤ 0.

Para

 

logo, f′(p) ≥ 0. Como f′(p) ≥ 0 e f′(p) ≤ 0 resulta f′(p) = 0.

 

Um ponto p ∈ D se diz ponto crítico ou ponto estacionário de f se f′(p) = f

0. O teorema anterior conta-nos, então, que se p for interior a D e f derivável f em p, então uma condição necessária para que p seja ponto de máximo ou de mínimo local de f é que p seja ponto crítico de f.

Vamos, agora, estabelecer uma condição suficiente para que um ponto p

seja ponto de máximo ou de mínimo local.

 

Teorema 2. a Sejam f uma função que admite derivada de 2 ordem contínua no intervalo aberto I

e p ∈ I.

a) f′(p) = 0 e f′′(p) > 0 ⇒ p é ponto de mínimo local.

b) f′(p) = 0 e f′′(p) < 0 ⇒ p é ponto de máximo local.

 

Demonstração

 

a) Como f′′ é contínua em I e f′′(p) > 0, pelo teorema da conservação do sinal,

existe r > 0 (tal r pode ser tomado de modo que ] p − r, p + r[esteja contido em I, pois estamos supondo I intervalo aberto e p ∈ I) tal que

f′′(x) > 0 em ] p − r, p + r[.

Segue que f′ é estritamente crescente neste intervalo; como f′(p) = 0, resulta:

 

Logo, f é estritamente decrescente em ] p − r, p] e estritamente crescente em [p, p + r[. Portanto, p é ponto de mínimo local.

b) Faça você.

■

 

Exercícios 9.7

1. Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os (a

classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).

 

c 3 2 ) h ( x ) = x − 3 x + 3x − 1

 

e 4 3 2 ) f ( x ) = x − 4 x + 6 x − 4x + 1

f 2 –5x ) g ( x ) = x e

2. a Suponha que f admite derivada de 3 ordem contínua no intervalo aberto I

e seja p ∈ I. Prove que se f′(p) = f′′(p) = 0 e f′′′(p) ≠ 0, então p é ponto de inflexão horizontal.

 

3. a Suponha que f admite derivada até a 4 ordem contínua no intervalo

aberto (4) I e seja p ∈ I . Prove que se f ′( p ) = f ′′( p ) = f ′′′( p ) = 0 e f (p) ≠ 0, então (4) p será ponto de máximo local se f (p) < 0 e será ponto de mínimo local se (4) f (p) > 0.

 

4. Generalize os resultados obtidos nos Exercícios 2 e 3.

 

5. Seja f derivável em ℝ e seja g dada por Suponha que

p é ponto de máximo local de g.

a) Prove que pf′(p) − f(p) = 0.

b) Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p passa

pela origem.

 

6. a Suponha que f seja derivável até a 2 ordem em ℝ e tal que para todo x

f′′(x)+ x f′(x) = 1.

a) Prove que f não admite ponto de máximo local.

b) Prove que, se f admitir um ponto crítico x , então x será ponto de 0 0

mínimo local.

c) Prove que f poderá admitir no máximo um ponto crítico.

 

7. a Suponha que f seja derivável até a 2 ordem em R e tal que para todo x

x f′′(x)+ f′(x) = 2.

a) Prove que, se x for ponto de máximo local, então x < 0. 0 0

b) Prove que, se x for ponto de mínimo local, então x > 0. 0 0

c) Prove que f′(x) > 0 para todo x.

 

(Sugestão: Observe que f′(0) = 2.)

 

8. (Teorema de Darboux.) Suponha g derivável em [a, b], com g′(a) < 0 e g′

(b) > 0. Prove que existe c em ] a, b[tal que g′(c) = 0. Interprete geometricamente.

 

(Sugestão: Verifique que o valor mínimo g(c) de g em [a, b] é tal que g(c) < g(a) e g(c) < g(b).)

 

9. Suponha g derivável no intervalo I e tal que g′(x) ≠ 0 em todo x de I. Prove

que

g′(x) > 0 em todo x ∈ I

ou

g′(x)< 0 em todo x ∈ I.

 

10. Suponha g derivável em [a, b] e seja m tal que g′(a) < m < g′(b). Prove que

existe c em ] a, b[tal que g′(c) = m.

 

(Sugestão: Aplique o Exercício 8 à função f(x) = g (x) − mx.)

 

11. a Seja y = f ( x ) uma função derivável até a 2 ordem no intervalo aberto I, tal

que para todo x ∈ I.

f 2 ′′( x )+ xf ′( x ) − [ f ( x )] = 0

f(x) ≠ 0.

a) Verifique que f′′ é contínua em I.

b) Prove que f não admite ponto de máximo local em I.

 

12. a Seja y = f ( x ) derivável até a 2 ordem em ]−r, r[, r > 0, tal que, para todo x

∈ ]−r, r[,

f 2 ′′( x )+ f ′( x ) − x [ f ( x )] = 0.

 

Suponha, ainda, que f(0) = 0 e f′(0) = 1.

a) Prove que f não admite ponto de máximo local em ]0, r].

b) Prove que f não admite ponto de mínimo local em ]−r, 0].