2 Funções

2.1 Funções de uma Variável Real a Valores Reais

Entendemos por uma função f uma terna

(A, B, a ↦ b)

em que A e B são dois conjuntos e a ↦ b, uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f e indica-se por D , assim A = D . O conjunto B é o contradomínio de f. O único b de B f f

associado ao elemento a de A é indicado por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valor que f assume em a ou que f(a) é o valor que f associa a a.

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f

: A → B (leia: f de A em B).

Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A → B,

em que A e B são subconjuntos de ℝ. Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais.

Seja f : A → B uma função. O conjunto

 

denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f.

Observação. Por simpli cação, deixaremos muitas vezes de explicitar o domínio e o contradomínio

de uma função; quando tal ocorrer, cará implícito que o contradomínio é ℝ e o domínio o “maior”

subconjunto de ℝ para o qual faz sentido a regra em questão.

 

É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com

domínio A, simplesmente por

y = f(x), x ∊ A.

Neste caso, diremos que x é a variável independente, e y, a variável dependente. É usual, ainda, dizer que y é função de x.

Exemplo 1

Seja 3 y = f ( x ), f ( x ) = x . Tem-se:

a) D = ℝ. f

b) 3 O valor que f assume em x é f ( x ) = x . Esta função associa a cada

real 3 x o número real f ( x ) = x .

c) 3 3 3 f (–1) = (–1) = –1; f (0) = 0 = 0; f (1) = 1 = 1.

d) Gráfico de f

Suponhamos x > 0; observe que, à medida que x cresce, y também

 

cresce, pois 3 y = x , sendo o crescimento de y mais acentuado que o de x

(veja: 2 3 3 = 8; 3 = 27 etc.); quando x se aproxima de zero, y se

aproxima de zero 3 3 mais rapidamente que x ((1/2) = 1/8; (1/3) = 1/27

etc.). Esta análise dá-nos uma ideia da parte do gráfico correspondente a

x > 0. Para x < 0, é só observar que f(–x) = –f(x).

 

Exemplo 2

Seja f a função dada por Tem-se:

A função f é dada pela regra Quando x cresce, y

também cresce, sendo o crescimento de y mais lento que o de

quando x se aproxima de zero,

y também se aproxima de zero, só que mais lentamente que

 

Exemplo 3

Considere a função g dada por Tem-se:

a) D = {x ∊ ℝ | x ≠ 0}. g

b) Esta função associa a cada x ≠ 0 o real

 

d) Gráfico de g.

Vamos olhar primeiro para x > 0; à medida que x vai aumentando,

vai se aproximando de zero

à medida que x vai se

aproximando de zero, vai se tornando cada vez maior

y = 100 etc.). Você já

deve ter uma ideia do que acontece para x < 0.

 

Exemplo 4

Dada a função 2 f ( x ) = – x + 2x, simplifique:

 

Solução

 

assim

Observe: 2 f (1) = –1 + 2 = 1.

b) Primeiro vamos calcular f(x + h). Temos

f 2 2 2 ( x + h ) = –( x + h ) + 2( x + h ) = – x – 2 xh – h + 2x + 2h.

Então

 

ou seja,

 

Exemplo 5

(Função constante.) Uma função y = f(x), x ∊ A, dada por f(x) = k, k

constante, denomina-se função constante.

a) f(x) = 2 é uma função constante; tem-se:

(i) D = ℝ (ii) Gráfico de f f

 

O gráfico de f é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, 2).

b) g : [–1, +∞[ → ℝ dada por g(x) = –1 é uma função constante e seu

gráfico é

 

Exemplo 6

 

Tem-se:

a) D = ℝ f

b) Gráfico de f

Observe que (0, 1) pertence ao gráfico de f, mas (0, –1) não.

 

Exemplo 7

(Função linear.) Uma função f : ℝ → ℝ dada por f(x) = ax, a constante,

denomina-se função linear; seu gráfico é a reta que passa pelos pontos

(0, 0) e (1, a):

 

Se a = 0, o gráfico de f coincide com o eixo x.

 

Exemplo 8

Esboce os gráficos.

a) f(x) = 2x.

b) g(x) = –2x.

c) h(x) = 2|x|.

Solução

a) O gráfico de f é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2).

 

b) O gráfico de g é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, –2).

 

c) Primeiro eliminemos o módulo

Exemplo 9

 

(Função afim.) Uma função f : ℝ → ℝ dada por y = ax + b, a e b

constantes, denomina-se função afim. Seu gráfico é a reta que passa pelo

ponto (0, b) e é paralela à reta y = ax.

 

Exemplo 10

Esboce o gráfico de f(x) = | x – 1 | + 2.

Solução

Primeiro eliminemos o módulo

Agora, vamos desenhar, tracejadas, as retas y = x + 1 e y = –x + 3 e, em

seguida, marcar, com traço firme, a parte que interessa de cada uma:

 

Sempre que uma função for dada por várias sentenças, você poderá

proceder desta forma.

Outro modo de se obter o gráfico de f é o seguinte: primeiro desenhe

tracejado o gráfico de y = o gráfico de y = obtém-se do anterior

transladando-o para a direita de uma unidade; o gráfico de f obtém-se

deste último transladando-o para cima de duas unidades.

Exemplo 11

(Função polinomial.) Uma função f : ℝ → ℝ dada por

f n n – 1 ( x ) = a x + a x + … + a x + a

0 1 n – 1 n

em que a ≠ 0, a , a , …, a são números reais fixos, denomina-se 0 1 2 n

função polinomial de grau n (n ∊ ℕ).

a 2 ) f ( x ) = x – 4 é uma função polinomial de grau 2 e seu gráfico é a

parábola

 

O gráfico de uma função polinomial de grau 2 é uma parábola com

eixo de simetria paralelo ao eixo y.

b 3 ) g ( x ) = ( x – 1) é uma função polinomial do grau 3; seu gráfico é

obtido do gráfico de 3 y = x , transladando-o uma unidade para a direita.

c 4 ) f ( x ) = x – 1 é uma função polinomial do grau 4; seu gráfico tem o

seguinte aspecto:

 

Exemplo 12

(Função racional.) Uma função racional f é uma função dada por

em que p e q são duas funções polinomiais; o domínio de f é

o conjunto {x ∊ ℝ | q(x) ≠ 0}.

é uma função racional definida para todo x ≠ 0.

Como segue que o gráfico de f é obtido do gráfico de

transladando-o uma unidade para cima (veja Exemplo 3).

 

é uma função racional com domínio {x ∊ ℝ | x ≠ 0}.

Observe que g(x) = À medida que vai crescendo, vai se

aproximando de zero e o gráfico de g vai, então, “encostando” na reta y = x (por cima se x > 0; por baixo se x < 0). À medida que x se aproxima de zero, o gráfico de g vai encostando na curva

é uma função racional com domínio {x ∊ ℝ | x ≠ –

2}. O gráfico de h é obtido do gráfico de transladando-o duas

unidades para a esquerda.

 

Exemplo 13

Determine A e B para que a terna (A, B, x ↦ y) seja função, sendo a regra

x 2 ↦ y dada implicitamente pela equação xy = x – 1.

Solução

 

Para se ter função, é preciso que a regra x ↦ y associe a cada x ∊ A

um único y ∊ B. Basta, então, tomar

 

e

 

Temos assim a função f : A → B dada por

 

Observação. A escolha de A e B acima não é a única possível. Quais as outras possibilidades?

 

Exemplo 14

O conjunto 2 H = {( x , y ) ∊ ℝ |2x + 3y = 1} é gráfico de função? Em caso

afirmativo, descreva tal função.

Solução

segue que H é o gráfico da função dada por

 

Notação

O símbolo 2 ℝ é usado para representar o conjunto de todos os pares ordenados de números reais,

■

 

Observação. Sejam H um conjunto de pares ordenados e A = { x ∊ ℝ | ∃y ∊ ℝ com (x, y) ∊ H}.

Então H é grá co de função se e somente se para cada x em A, existe um único y, com (x, y) ∊ H.

 

Antes de passarmos ao próximo exemplo, lembramos que a distância d

entre os pontos (x , y ) e (x , y ) é definida por 0 0 1 1

 

Veja

Pois bem, a circunferência de centro (a, b) e raio r (r > 0) é, por definição,

 

o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a (a, b) são iguais a r. Assim, a equação da circunferência de raio r e centro (a, b) é

( 2 2 2 x – a ) + ( y – b ) = r .

Exemplo 15

Esboce o gráfico da função 2 2 f dada pela regra x ↦ y , em que x + y = 1,

y ≥ 0.

Solução

 

Como 2 2 2 2 2 2 x + y = 1 ⇔ ( x – 0) + ( y – 0) = 1 , segue-se que x +

y 2 = 1 é a equação da circunferência de centro na origem e raio 1; o

gráfico de f é a parte desta circunferência correspondente a y ≥ 0.

Exemplo 16

O conjunto 2 2 2 H = {( x , y ) ∊ ℝ | x + y – 2y = 0} é gráfico de função?

Por quê?

Solução

x 2 2 2 2 2 2 + y – 2 y = 0 ⇔ x + y – 2 y + 1 = 1 ⇔ x + ( y – 1) = 1 que

é a equação da circunferência de centro (0, 1) e raio 1. Temos

 

Assim, para cada x ∊ ] –1, 1[ existe mais de um y, com (x, y) ∊ H; H

não é gráfico de função.

Exercícios 2.1

 

1. Calcule.

 

2. Simplifique sendo dados:

a 2 ) f ( x ) = x e p = 1

b 2 ) f ( x ) = x e p = –1

c 2 ) f ( x ) = x e p qualquer

d) f(x) = 2x + 1 e p = 2

e) f(x) = 2x + 1 e p = –1

f) f(x) = 5 e p = 2

g 3 ) f ( x ) = x e p = 2

h 3 ) f ( x ) = x e p = –2

i 3 ) f ( x ) = x e p qualquer

 

m 2 ) f ( x ) = x – 3x e p = –2

 

3. Simplifique sendo f(x) igual a

a) 2x + 1

b) 3x – 8

c) –2x + 4

d 2 ) x

e 2 ) x + 3x

f 2 ) – x + 5

g 2 ) x – 2x

h 2 ) x – 2x + 3

i 2 ) –2 x + 3

j 2 ) 2 x + x + 1

l 3 ) x

m 3 ) x + 2x

n 3 2 ) x + x – x

o) 5

 

q 3 ) 2 x – x

 

4. Dê o domínio e esboce o gráfico.

a) f(x) = 3x

b) g(x) = –x

c) h(x) = –x + 1

d) f(x) = 2x + 1

e) g(x) = –2x + 3

f) g(x) = 3

g) f(x) = –2

5. Considere a função f(x) = | x – 1 | + | x – 2 |

 

b) Esboce o gráfico de f.

 

6. Esboce o gráfico.

a) f(x) = | x | + | x – 2 |

b) g(x) = | x | – 1

 

d) f(x) = | x + 1 | – | x |

 

7. Olhando para o gráfico de f, estude o sinal de f(x).

a) f(x) = x – 3

b) f(x) = –2x + 1

c) f(x) = 3x + 1

d) f(x) = –3x – 2

e) f(x) = x + 3

f) f(x) = –8x + 1

g) f(x) = ax + b (a > 0)

h) f(x) = ax + b (a < 0)

 

8. Estude a variação do sinal de f(x).

a) f(x) = (x – 1)(x + 2)

b) f(x) = (2x + 3)(x + 1)

c) f(x) = x(1 – x)

d) f(x) = (–x + 2)(x – 3)

 

l) f(x) = (2x – 3)(x + 1)(x – 2)

9. Determine o domínio.

10. Esboce o gráfico.

a 2 ) f ( x ) = x

b 2 ) y = x + 1

c 2 ) y = x – 1

d 2 ) y = ( x – 1)

e 2 ) y = ( x + 1)

f 2 ) y = ( x – 1) + 1

g 2 ) y = ( x + 1) – 2

h 2 ) y = – x

i 2 ) y = –( x – 2)

j 2 ) y = | x – 1 |

l 4 ) y = x

m 3 ) y = ( x + 1)

n 3 ) y = – x

o 3 ) y = ( x – 2)

p) y = x | x |

q 2 ) y = x | x |

 

11. 2 Considere a função f dada por f ( x ) = x + 4x + 5.

a 2 ) Mostre que f ( x ) = ( x + 2) + 1.

b) Esboce o gráfico de f.

c) Qual o menor valor de f(x)? Em que x este menor valor é atingido?

 

12. 2 Seja f ( x ) = ax + bx + c, a ≠ 0.

a 2 ) Verifique que em que Δ = b – 4ac.

b) Mostre que se a > 0, então o menor valor de f(x) acontece para

Qual o menor valor de f(x)?

c) Mostre que se a < 0, então é o maior valor assumido

por f.

d) Interprete (b) e (c) graficamente.

 

13. Com relação à função f dada, determine as raízes (caso existam), o maior

ou o menor valor e esboce o gráfico.

a 2 ) f ( x ) = x – 3x + 2

b 2 ) f ( x ) = x – 4

c 2 ) f ( x ) = x – 4x + 4

d 2 ) f ( x ) = x + 2x + 2

e 2 ) f ( x ) = 2 x + 3

f 2 ) f ( x ) = 2 x – 3x

g 2 ) f ( x ) = – x + 2x

h 2 ) f ( x ) = – x + 4

i 2 ) f ( x ) = –4 x + 4x – 1

j 2 ) f ( x ) = – x – 4x – 5

14. Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f(x).

a 2 ) f ( x ) = x – 1

b 2 ) f ( x ) = x – 5x + 6

c 2 ) f ( x ) = x + x + 1

d 2 ) f ( x ) = – x + 3x

e 2 ) f ( x ) = – x – 2x – 1

f 2 ) f ( x ) = x + 6x + 9

g 2 ) f ( x ) = – x + 9

h 2 ) f ( x ) = x + 2x – 6

i 2 ) f ( x ) = 2 x – 6x + 1

j 2 ) f ( x ) = – x + 2x – 3

 

15. Dê o domínio e esboce o gráfico.

16. a) Verifique que Conclua que à medida

que | x | cresce a diferença se aproxima de zero.

b) Esboce o gráfico de

 

17. Dê o domínio e esboce o gráfico de

(Sugestão: Verifique que à medida que | x | vai crescendo, o gráfico de f vai “encostando”, por baixo, no gráfico de y = | x |.

 

18. Dê o domínio e esboce o gráfico.

19. 2 2 Seja f dada por x ↦ y , y ≥ 0, em que x + y = 4.

a) Determine f(x)

b) Esboce o gráfico de f

 

20. Esboce o gráfico da função y = f(x) dada implicitamente pela equação.

a 2 2 ) x + y = 1, y ≤ 0

b 2 ) x – y = 0, y ≥ 0

c 2 2 ) ( x – 1) + y = 4, y ≥ 0

d 2 2 ) x + y + 2y = 0, y ≥ –1

e 2 2 ) x + y + 2x + 4y = 0, y ≤ –2

 

21.

Considere a função

 

a) Calcule f(2), f(–1) e

b) Dê o domínio e esboce o gráfico.

 

22. Considere a função f(x) = máx{n ∊ ℤ | n ≤ x}. (Função maior inteiro.)

a) Calcule

b) Esboce o gráfico.

 

23. Calcule a distância entre os pontos dados.

a) (1, 2) e (2, 3)

b) (0, 1) e (1, 3)

c) (–1, 2) e (0, 1)

d) (0, 2) e (0, 3)

e) (–2, 3) e (1, 4)

f) (1, 1) e (2, 2)

 

24. Seja d a distância de (0, 0) a (x, y); expresse d em função de x, sabendo

que (x, y) é um ponto do gráfico de

 

25. Um móvel desloca-se (em movimento retilíneo) de (0, 0) a (x, 10) com

uma velocidade constante de 1 (m/s); em seguida, de (x, 10) a (30, 10) (em movimento retilíneo) com velocidade constante de 2 (m/s). Expresse o tempo total T(x), gasto no percurso, em função de x. (Suponha que a unidade adotada no sistema de referência seja o metro.)

 

26. (x, y) é um ponto do plano cuja soma das distâncias a (–1, 0) e (1, 0) é

igual a 4.

a) Verifique que

b) Supondo y ≥ 0, expresse y em função de x e esboce o gráfico da função

obtida.

 

27. Sejam F e F dois pontos fixos e distintos do plano. O lugar geométrico 1 2

dos pontos (x, y) cuja soma das distâncias a F e F é sempre igual a 1 2

2k(2k > distância de F a F ) denomina-se elipse de focos F e F e 1 2 1 2 semieixo maior k.

a) Verifique que é a equação da elipse de focos (–c, 0) e (c,

0) e semieixo maior 2 2 2 a , em que b = a – c .

b) Verifique que é a equação da elipse de focos (0, –c) e (0,

c 2 2 2 ) e semieixo maior b , em que a = b – c .

c) Desenhe os lugares geométricos descritos nos itens (a) e (b).

 

28. Determine o domínio e esboce o gráfico.

29. Você aprendeu em geometria analítica que y – y = m(x – x ) é a equação 0 0

da reta que passa pelo ponto (x , y ) e que tem coeficiente angular m. 0 0 Determine a equação da reta que passa pelo ponto dado e tem coeficiente angular m dado.

a) (1, 2) e m = 1

b) (0, 3) e m = 2

c) (–1, –2) e m = –3

 

e) (5, 2) e m = 0

 

30. A reta r intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. Determine a

distância entre A e B, sabendo-se que r passa pelos pontos (1, 2) e (3, 1).

 

31. A reta r passa pelo ponto (1, 2) e intercepta os eixos coordenados nos

pontos A e B. Expresse a distância d, entre A e B, em função do coeficiente angular m. (Suponha m < 0.)

 

32. 3 Na fabricação de uma caixa, de forma cilíndrica, e volume 1 (m ),

utilizam-se, nas laterais e no fundo, um material que custa $1.000 o metro quadrado e na tampa outro que custa $2.000 o metro quadrado. Expresse o custo C do material utilizado, em função do raio r da base.

33. Expresse a área A de um triângulo equilátero em função do lado l.

 

34. Um retângulo está inscrito numa circunferência de raio r dado. Expresse a

área A do retângulo em função de um dos lados do retângulo.

 

35. Um cilindro circular reto está inscrito numa esfera de raio r dado. Expresse

o volume V do cilindro em função da altura h do cilindro.

 

36. Um móvel é lançado verticalmente e sabe-se que no instante t sua altura é

dada por 2 h ( t ) = 4 t – t , 0 ≤ t ≤ 4. (Suponha o tempo medido em segundos e a altura em quilômetros.)

a) Esboce o gráfico de h.

b) Qual a altura máxima atingida pelo móvel? Em que instante esta altura

máxima é atingida?

 

37. Entre os retângulos de perímetro 2p dado, qual o de área máxima?

 

38. Divida um segmento de 10 cm de comprimento em duas partes, de modo

que a soma dos quadrados dos comprimentos seja mínima.

 

39. Um arame de 10 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços,

um dos quais será torcido de modo a formar um quadrado e o outro, a formar uma circunferência. De que modo deverá ser cortado para que a soma das áreas das regiões limitadas pelas figuras obtidas seja mínima?

40. Um arame de 36 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços,

um dos quais será torcido de modo a formar um quadrado e o outro, a formar um triângulo equilátero. De que modo deverá ser cortado para que a soma das áreas das regiões limitadas pelas figuras obtidas seja mínima?

 

41. 2 2 2 Coloque na forma ( x – a ) + ( y – b ) = r .

a 2 2 ) x + y – 2x = 0

b 2 2 ) x + y – x – y = 0

c 2 2 ) 2 x + 2 y + x = 1

d 2 2 ) x + y + 3x – y = 2

 

42. Determine a para que as retas dadas sejam paralelas.

a) y = ax e y = 3x – 1

b) y = (a + 1) x + 1 e y = x

 

d) y = –x e y = 3ax + 4

e) 2x + y = 1 e y = ax + 2

f) x + ay = 0 e y = 3x + 2

 

43. Determine a equação da reta que passa pelo ponto dado e que seja paralela

à reta dada.