2.2 Funções Trigonométricas: Seno e Cosseno

a) y = 2x + 3 e (1, 3)

b) 2x + 3y = 1 e (0, 1)

c) x – y = 2 e (–1, 2)

d) x + 2y = 3 e (0, 0)

 

44. Justifique geometricamente: y = mx + n(m ≠ 0) e y = m x + n são 1 1

perpendiculares se e somente se mm = –1. 1

 

45. Determine a equação da reta que passa pelo ponto dado e que seja

perpendicular à reta dada.

a) y = x e (1, 2)

b) y = 3x + 2 e (0, 0)

c) y = –3x + 1 e (–1, 1)

d) 2x + 3y = 1 e (1, 1)

e) 3x – 2y = 0 e (0, 0)

f) 5x + y = 2 e (0, 1)

 

2.2 Funções Trigonométricas: Seno e Cosseno

Com os elementos de que dispomos até agora, ficaria muito trabalhoso definir e, em seguida, demonstrar as principais propriedades das funções seno e cosseno. Observamos, entretanto, que apenas cinco propriedades são suficientes para descrever completamente tais funções. O teorema que enunciamos a seguir e cuja demonstração será feita após estudarmos as séries de potências resolverá completamente o problema referente a tais funções.

 

Teorema. Existe um único par de funções de nidas em ℝ, indicadas por sen e cos, satisfazendo as

propriedades:

(1) sen 0 = 0

(2) cos 0 = 1

(3) Quaisquer que sejam os reais a e b

sen (a – b) = sen a cos b – sen b cos a

(4) Quaisquer que sejam os reais a e b

cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b

(5) Existe r > 0 tal que

 

para 0 < x < r.

 

Vejamos, agora, outras propriedades que decorrem das cinco mencionadas no teorema acima. Fazendo em (4) a = b = t, obtemos

cos 0 = cos t cos t + sen t sen t

ou seja, para todo t real,

 

Deste modo, para todo 2 t , o ponto (cos t , sen t ) pertence à circunferência x

+ 2 y = 1.

Para efeito de interpretação geométrica, você poderá olhar para o t da

mesma forma como aprendeu no colégio: t é a medida em radianos do arco .

Lembramos que a medida de um arco é 1 rd (rd = radiano) se o comprimento do arco for igual ao raio da circunferência (1 rd ≅ 57º16′).

A próxima propriedade será demonstrada no Apêndice B.

(7) Existe um menor número positivo a tal que cos a = 0. Para este a, sen a = 1.

O número a acima pode ser usado para definirmos o número π.

 

De nição. De nimos o número π por π = 2a, em que a é o número a que se refere a propriedade

(7).

 

Assim é o menor número positivo tal que Temos, também,

 

Seja f uma função definida em ℝ. Dizemos que f é uma função par se, para

todo x,

f(–x) = f(x).

Dizemos, por outro lado, que f é uma função ímpar se, para todo x,

f(–x) = –f(x).

Exemplo 1

Mostre que

a) sen é uma função ímpar.

b) cos é uma função par.

Solução

Fazendo em (3) a = 0 e b = t, resulta sen (–t) = sen 0 cos t – sen t cos

a) 0, ou seja,

sen (–t) = –sen t.

b) Fazendo em (4) a = 0 e b = t resulta cos (–t) = cos t.

 

Exemplo 2

Mostre que quaisquer que sejam os reais a e b

cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b

e

sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a.

Solução

cos (a + b) = cos [a – (–b)] = cos a cos (–b) + sen a sen (–b) = cos a cos

b – sen a sen b.

sen (a + b) = sen [a – (–b)] = sen a cos (–b) – sen (–b) cos a = sen a cos

b + sen b cos a.

 

Exemplo 3

Mostre que, para todo x,

cos 2 2 2 x = cos x – sen x e sen 2x = 2 sen x cos x.

Solução

cos 2 2 2 x = cos ( x + x ) = cos x cos x – sen x sen x = cos x – sen x.

sen 2x = sen (x + x) = sen x cos x + sen x cos x = 2 sen x cos x.

 

Exemplo 4

Mostre que, para todo x,

 

Solução

cos 2 2 2 2 2 x = cos x – sen x = cos x – (1 – cos x)

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cos 2 2 x = 2 cos x – 1 ou

Verifique você que

 

Exemplo 5

Calcule.

 

c) cos π.

d) sen π.

Solução

Provaremos mais adiante que cos x > 0 e sen x > 0 em

Interprete geometricamente os resultados deste exemplo.

 

Deixamos a seu cargo verificar que, para todo x,

 

As funções sen e cos são periódicas com período 2π.

Os gráficos das funções sen e cos têm os seguintes aspectos:

Exemplo 6

 

Esboce o gráfico da função dada por

Solução

Primeiro vamos estudar o comportamento de y para

 

Assim, para À medida que x aumenta, vai se

aproximando de zero, o mesmo acontecendo com Para é

só observar que é ímpar.

Observe que para

 

Vejamos, agora, o comportamento de

Quando x varia em fica oscilando entre 1 e –1.

Exercícios 2.2

 

1. Esboce o gráfico.

a) f(x) = sen 2x

b) y = 2 cos x

 

d) f(x) = | sen x |

e) y = sen πx

f) f(x) = x sen x