Um Curso de Cálculo, Volume 1
B.2 Demonstração do Teorema do Valor Intermediário
Suponhamos f(c ) ≥ 0 e façamos a = a e c = b . Assim, f(a ) < 0 1 1 2 1 2 2
e f(b ) ≥ 0. Prosseguindo com este raciocínio, construiremos uma 2
sequência de intervalos
[a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ … ⊃ [a , b ] ⊃ … 0 0 1 1 2 2 n n
que satisfaz as condições da propriedade dos intervalos encaixantes e tal que, para todo n,
Seja c o único real tal que, para todo n,
a ≤ c ≤ b . n n
As sequências de termos gerais a e b convergem para c (verifique). n n
Segue, então, da continuidade de f, que
Segue de ① e de ② que
f(c) ≤ 0 e f(c) ≥ 0
e, portanto, f(c) = 0.
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B.2 Demonstração do Teorema do Valor
Intermediário