Um Curso de Cálculo, Volume 1
6 Funções Exponencial e Logarítmica
6.1 Potência com Expoente Real
Na Seção 1.7 definimos potência com expoente racional e
estudamos suas principais propriedades. Nesta seção, vamos definir potência com expoente real.
Observamos, inicialmente, que, se f e g são duas funções definidas e
contínuas em ℝ tais que f(r) = g(r) para todo racional r, então f(x) = g(x) para todo real x, isto é, se duas funções contínuas em ℝ coincidem nos racionais, então elas são iguais (veja Exercício 21, Seção 3.2).
Seja, agora, a > 0 e a ≠ 1 um real qualquer. Se existirem funções f e g
definidas e contínuas em ℝ e tais que para todo racional r
f r r ( r ) = a e g ( r ) = a
então f(x) = g(x) para todo x real. Isto significa que poderá existir no máximo uma função definida e contínua em r ℝ e que coincide com a em todo racional r. O próximo teorema, cuja demonstração é deixada para o Apêndice C, garante-nos a existência de uma tal função.
Teorema. Seja a > 0 e a ≠ 1 um real qualquer. Existe uma única função f, de nida e contínua em
ℝ r , tal que f ( r ) = a para todo racional r.
Damos, agora, a seguinte
Definição. Sejam a > 0, a ≠ 1, e f como no teorema anterior. De nimos a potência de base a e
expoente real x por
a x = f(x).
A função x f , definida em ℝ , e dada por f ( x ) = a , a > 0 e a ≠ 1, denomina-se
função exponencial de base a.
Sejam a > 0, b > 0, x e y reais quaisquer; provaremos no Apêndice B as
seguintes propriedades:
(1) x y x + y a a = a .
(2) ( x y xy a ) = a .
(3) ( x x x ab ) = a b .
(4) Se x y a > 1 e x < y , então a < a .
(5) Se 0 < x y a < 1 e x < y , então a > a .
A propriedade (4) conta-nos que a função exponencial x f ( x ) = a , a > 1, é
estritamente crescente x em ℝ . A (5) conta-nos que f ( x ) = a , 0 < a < 1, é estritamente decrescente em ℝ.
O gráfico de x f ( x ) = a tem o seguinte aspecto:
Exemplo 1
Avalie
Solução
Como x f ( x ) = 2 é contínua em
De segue
Como 1,4142 resulta que 2 é uma aproximação por falta de
Exemplo 2
Esboce o gráfico de
Solução
A função exponencial de base x e ( e ≅ 2,718 281), f ( x ) = e ,
desempenhará um papel bastante importante em todo o nosso curso.
Como x e > 1, o gráfico de f ( x ) = e tem o seguinte aspecto
Exemplo 3
Suponha a > 1. Verifique que
Solução
a) Já vimos (Exemplo 8 da Seção 4.3) que
Assim, dado ε > 0 existe um natural n tal que 0
n n ≥ n ⇒ a > ε.
0
Como x a é crescente (a > 1), resulta
x x > n ⇒ a > ε
0
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Exercícios 6.1
1. Calcule.
2. Esboce o gráfico.
a x ) f ( x ) = 3
b x ) g ( x ) = (0,12)
c –x ) f ( x ) = e
d –x ) g ( x ) = 1 + e
e –x ) f ( x ) = – e
f –x ) g ( x ) = 1 – e