Um Curso de Cálculo, Volume 1
F.8 Identificação de ℚ com
Teorema (do supremo). Se A for um subconjunto de ℝ, não vazio e limitado superiormente,
então A admitirá supremo.
Demonstração
Seja Pelo lema, γ é número real. Vamos mostrar que γ é o supremo de A, isto é, γ = sup A. De fato, como γ é a reunião dos α pertencentes a A, segue que, para todo α ∈ A,
γ ⊃ α, ou seja, γ ≥ α.
Logo, γ é cota superior de A. Por outro lado, se γ' é uma cota superior qualquer de A, γ' ≥ α, para todo α ∈ A, e, portanto, para todo α ∈ A,
γ ' ⊃ α;
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F.8 Identificação de ℚ com
Inicialmente, vamos definir aplicação bijetora (aplicação e função são palavras sinônimas). Sejam A e B dois conjuntos não vazios e ϕ uma aplicação de A e B.
Dizemos que ϕ é bijetora se
(i) Im ϕ = B
(ii) ∀s, t ∈ A, s ≠ t ⇒ ϕ (s) ≠ ϕ (t).
A condição (i) significa que ϕ é sobrejetora e a (ii), injetora. Deste modo,
ϕ é bijetora se e somente se ϕ for injetora e sobrejetora.
Seja α um número real. Dizemos que α é um número real racional se
existe um racional r tal que α = r*.
O conjunto dos números reais racionais será indicado por
Seja α um número real. Se α não pertencer a diremos que α é um
número real irracional. Verifique que
é um número real irracional.
Olhemos, agora, para a aplicação ϕ : ℚ → dada por ϕ (r) = r*, que a
cada racional r associa o real racional r*. Tal aplicação é bijetora (verifique). Além disso, temos:
(i) ϕ (r + s) = (r + s)* = r* + s* = ϕ (r) + ϕ (s). (ii) ϕ (r · s) = (rs)* = r* · s* = ϕ (r) · ϕ (s). iii) r ≤ s ⇔ r* ≤ s*.
Tal aplicação ϕ nos permite, então, identificar o racional r com o real
racional r*. Neste sentido, podemos olhar para ℚ como subconjunto de ℝ.
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