13.6 Comprimento de Curva Dada em Forma Paramétrica

Quantos metros de chapa de ferro são necessários para construir um arco

2.

AB, de forma parabólica, sendo A e B simétricos com relação ao eixo de simetria da parábola e com as seguintes dimensões: 2 m a distância de A a B e 1 m a do vértice ao segmento AB.

 

13.6 Comprimento de Curva Dada em Forma Paramétrica

Por uma 2 curva em ℝ entendemos uma função que a cada t pertencente a um intervalo 2 I associa um ponto ( x ( t ), y ( t )) em ℝ , em que x (t) e y (t) são funções definidas em I. Dizemos que

 

são as equações paramétricas da curva. Por abuso de linguagem, vamos nos referir ao lugar geométrico descrito pelo ponto (x (t), y (t)), quando t percorre o intervalo I, como a curva de equações paramétricas x = x (t) e y = y (t).

Exemplo 1

Desenhe a curva dada em forma paramétrica por x = t, y = 3t, t ∈ ℝ.

Solução

x = t, y = 3t ⇒ y = 3x. Quando t percorre ℝ, o ponto (t, 3t) descreve a reta

y = 3x.

Exemplo 2

Seja a curva de equações paramétricas 2 x = t , y = t , t em ℝ. Quando t

varia em 2 2 ℝ , o ponto ( t , t ) descreve a parábola y = x .

 

Exemplo 3

Seja a curva de equações paramétricas x = cos t, y = sen t, t ∈ [0, 2π].

Quando t varia em [0, 2π], o ponto (cos t, sen t) descreve a circunferência

x 2 2 + y = 1.

Exemplo 4

Desenhe a curva dada em forma paramétrica por x = 2 cos t e y = sen t,

com t ∈ [0, 2π].

Solução

 

Assim, para cada t ∈ [0, 2π] o ponto (2 cos t, sen t) pertence à elipse

. Por outro lado, para cada (x, y) na elipse, existe t ∈ [0,

2π] tal que

 

Assim, quando t percorre o intervalo [0,2 π], o ponto (2 cos t, sen t)

descreve a elipse.

 

Nosso objetivo a seguir é estabelecer a fórmula para o cálculo do

comprimento de uma curva dada em forma paramétrica. A fórmula será estabelecida a partir de considerações geométricas, e deixamos o tratamento rigoroso do assunto para o Vol. 2.

Suponhamos que s = s (t), t ∈ [a, b], seja o comprimento do trecho da

curva de extremidades A = (x (a), y (a)) e P (t) = (x (t), y (t)), em que x = x (t) e y 1 = y ( t ) são supostas de classe C . Sejam Δx, Δy e Δs as variações em x, y e s correspondentes à variação Δt em t, com Δt > 0. Para Δt suficientemente pequeno, vemos, pela figura, que Δ 2 2 2 s ≈ Δ x + Δ y e, portanto,

É razoável, então, esperar que a diferencial da função s = s (t) seja

 

Definimos então o comprimento da curva x = x (t), y = y (t), t ∈ [a, b], com x = x 1 ( t ) e y = y ( t ) de classe C em [a, b], por

 

Observação. O grá co da função y = f(x), x ∈ [a, b], pode ser dado em forma paramétrica por x

= t, y = f(t), t ∈ [a, b]. Segue que a fórmula para o comprimento do grá co de uma função é um

caso particular desta.

 

Exemplo 5

Calcule o comprimento da circunferência de raio R > 0.

Solução

Uma parametrização para a circunferência de raio R e com centro na

origem é: x = R cos t e y = R sen t, com t ∈ [0, 2π]. De

, segue

Portanto, comprimento = .

 

Exemplo 6

As equações paramétricas do movimento de uma partícula no plano são

 

a) Quais as posições da partícula nos instantes t = 0, t = e t = π ?

b) Qual a trajetória descrita pela partícula?

c) Qual a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t =

π ?

Solução

a) No instante t = 0 a partícula encontra-se na posição (0, 0), em t =

na posição (1, 1) e, no instante t = π, novamente na posição (0, 0).

b 2 2 ) x = sen t e y = sen t ⇒ y = x . Segue que a partícula, de t = 0 a t =

, descreve o arco da parábola de extremidades (0, 0) e (1, 1) e no

sentido de (0, 0) para (1, 1). De t = a t = π descreve o mesmo arco

só que em sentido contrário.

c) A distância d percorrida entre os instantes t = 0 e t = π é dada por

 

ou seja,

 

Observe que as distâncias percorridas entre os instantes t = 0 e t = é a

mesma que de t = a t = π. Observe ainda que = cos t, para 0 ≤ t ≤ .

Fazendo a mudança de variável u = 2 sen t teremos du = 2 cos t dt, u = 0

para t = 0, u = 2 para t = . Assim, . Fazendo,

agora, u = tg θ, teremos

 

Como θ = arctg 2 ⇒ tg θ = 2 e , resulta que

a distância percorrida pela partícula é .

 

Exercícios 13.6

 

1. Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica.

a) x = 2t + 1 e y = t − 1, 1 ≤ t ≤ 2