3.3 Definição de Limite

24. 3 Seja f ( x ) = x + x. Prove que

 

 

b) f é contínua em 2

 

25. Prove que é contínua em 1.

 

26. Prove que é contínua em todo p > 0.

 

27. 3 Sejam f ( x ) = x e p ≠ 0.

 

b) Conclua de (a) que f é contínua em p

 

3.3 Definição de Limite

Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f (veja o final da Seção 3.1). Consideremos as situações a seguir:

 

Na situação (a), f não está definida em p, mas existe L que satisfaz a propriedade:

①

 

para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que, para todo x ∊ D f ,

p – δ < x < p + δ, x ≠ p ⇒ L – ε < f(x) < L + ε.

 

Na situação (b), f está definida em p, mas não é contínua em p, entretanto

existe L satisfazendo ①; observe que neste caso a restrição x ≠ p é essencial. Na situação (c), f é contínua em p, assim L = f(p) satisfaz ① . Finalmente, na situação (d), não existe L satisfazendo ① em p.

A propriedade ① é equivalente a

 

para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que, para todo x ∊ D , f

 

Observe que 0 < | x – p | < δ ⇔ p – δ < x < p + δ, x ≠ p.

Vamos provar a seguir que existe no máximo um número L satisfazendo a

propriedade anterior. De fato, suponhamos que L e L satisfaçam, em p, a 1 2 propriedade acima; então, para todo ε > 0 dado, existem δ > 0 e δ > 0 tais 1 2 que

 

e

 

tomando-se δ = mín {δ , δ } 1 2

 

Das hipóteses sobre p e sobre o domínio de f, segue que existe x ∊ D 0 f

com 0 < | x – p | < δ; temos: 0

Assim, para todo ε > 0,

 

Logo, L = L . 1 2

De acordo com a definição que daremos a seguir, o único número L (caso

exista) satisfazendo ① é o limite de f(x), para x tendendo a p:

 

De nição. Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos

que compõem o domínio de f. Dizemos que f tem limite L, em p, se, para todo ε > 0 dado, existir um

δ > 0 tal que, para todo x ∊ D , f

 

Tal número L, que quando existe é único, será indicado por

Assim,

Observações.

1. Suponhamos f definida em p. Comparando as definições de limite e

continuidade, resulta

 

2. O limite de f em p não depende do valor (caso f esteja definida em p) que f

assume em p, mas sim dos valores que f assume nos pontos próximos de p. Quando estivermos interessados no limite de f em p, basta olharmos para os valores que f assume em um “pequeno” intervalo aberto contendo p; o conceito de limite é um conceito local.

3. Sejam f e g duas funções. Se existir r > 0 tal que f(x) = g(x) para p – r < x <

p + r, x ≠ p, e se existir, então também existirá e

 

Exemplo 1

Calcule (k constante).

Solução

O que queremos aqui é no qual f é a função constante f(x) = k.

Como f é contínua em todo p real

 

isto é,

 

(O limite de uma constante é a própria constante.)

 

Exemplo 2

Calcule

Solução

f(x) = 3x – 2 é uma função afim, logo, contínua em todo p real, em

particular em p = 2; assim

 

Exemplo 3

Calcule

Solução

para x ≠ 1; g(x) = x + 1 é contínua em 1, logo

Como

 

segue da observação 3, que

 

(2 é o valor que deveria ter em 1 para ser contínua neste

ponto.)

 

Exemplo 4

 

Calcule em que

 

Solução

Para x ≠ 1, assim

 

(Observe que f(1) = 3.) Pelo fato de segue que f não é

contínua em 1.

 

Exemplo 5

As funções dadas por (n ≥ 1 natural) são

contínuas. (Verifique.) Assim

para todo p real,

e

para todo p no domínio

 

Por enquanto, vamos admitir tais propriedades e usá-las.

Exemplo 6

Calcule

Solução

 

Assim,

Exemplo 7

 

Calcule

Solução

Como a propriedade (d) não se aplica.

 

e

 

segue-se que

 

Deixamos a seu cargo verificar, por indução finita, que se

então

para todo natural n ≥ 2.

Exemplo 8

Calcule

Solução

Como pela

propriedade (d),

 

Exemplo 9

Calcule

Solução

logo a propriedade (d) não se aplica. Como –1 é

raiz de 3 2 x + 1 e de x + 4x + 3, estes polinômios são divisíveis por x +

1:

x 3 2 2 + 1 = ( x + 1)( x – x + 1) e x + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3).

Assim

Exemplo 10

Calcule

Solução

 

Assim

 

Segue

 

O próximo exemplo mostra-nos que soma, produto e quociente de funções

contínuas são contínuas.

Exemplo 11

Sejam f, g contínuas em p e k uma constante. Então f + g, kf e f · g são

contínuas em p; também será contínua em p, desde que g(p) ≠ 0.

Solução

Como f e g são contínuas em p, Segue

das propriedades (a), (b) e (c) dos limites que

 

e

 

logo, f + g, kf e f · g são contínuas em p.

Sendo g(p) ≠ 0

 

logo é também contínua em p.

 

Deixamos a seu cargo verificar que se f , f , …, f (n ≥ 2 natural) forem 1 2 n

contínuas em p, então f + f + … + f e f · f · f · …, f também o 1 2 n 1 2 3 n serão.

Exemplo 12

Toda função polinomial é contínua.

Solução

Sendo f uma função polinomial, existem n ∊ N e números reais a , a , 0 1

…, a tais que n

f n n – 1 ( x ) = a x + a x + … + a x + a ;

0 1 n – 1 n

assim f é soma de funções contínuas, logo f é contínua.

 

Exemplo 13

f dada por é contínua, pois se trata de

uma função polinomial. (Lembre-se: dizer que f é uma função contínua

equivale a dizer que f é contínua em todos os pontos de seu domínio.)

 

Exemplo 14

Toda função racional é contínua.

Solução

Sendo f uma função racional, em que g e h são funções

polinomiais. Assim, f é contínua em todo p que não anula o

denominador, isto é, f é contínua.

 

Exemplo 15

é contínua em todo

Solução

f é uma função racional, assim f é contínua em todo p de seu domínio,

isto é, f é contínua em todo

 

Exemplo 16

Prove que

 

Solução

 

Exemplo 17

Prove que

 

Solução

Suponhamos assim dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

 

daí

ou seja,

 

Assim

 

Verifique você a recíproca.

 

Exemplo 18

(Conservação do sinal.) Suponha que com L > 0. Prove

que existe δ > 0 tal que, ∀x ∊ D , f

p – δ < x < p + δ, x ≠ p ⇒ f(x) > 0.

Solução

Sendo para todo ε > 0 dado existe δ > 0 tal que, ∀x ∊ D , f

p – δ < x < p + δ, x ≠ p ⇒ L – ε < f(x) < L + ε.

Para ε = L, existe δ > 0 tal que, ∀x ∊ D , f

p – δ < x < p + δ, x ≠ p ⇒ L – L < f(x) < L + L,

ou seja,

p – δ < x < p + δ, x ≠ p ⇒ f(x) > 0.

Exercícios 3.3

 

1. Calcule e justifique.

2. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado.

Justifique.

a 2 ) f ( x ) = x

b 2 ) f ( x ) = 2 x + x

c) f(x) = 5

d 3 ) f ( x ) = – x + 2 x

f) f(x) = 3x + 1

 

 

5. Calcule.

6. Prove que existe δ > 0 tal que

 

7. Prove que existe δ > 0 tal que 8. Sejam f e g definidas em R com g(x) ≠ 0 para todo x. Suponha que

Prove que existe δ > 0 tal que

 

9. Suponha que Prove que existem r > 0, α e β tais que, para

todo x ∊ D , f

 

Interprete graficamente.

 

10. Suponha que Prove que existem r > 0 e M > 0 tais que, para

todo x ∊ D , f

 

14. Suponha que existe r > 0 tal que f(x) ≥ 0 para 0 < | x – p | < r e que

Prove que L ≥ 0.

(Sugestão: Suponha L < 0 e use a conservação do sinal.)