Um Curso de Cálculo, Volume 1
15.2 Teorema do Valor Médio
e aplique o exercício anterior.)
10. Nas condições do exercício anterior, prove que, para cada x em [a, b],
existe pelo menos um c em ]a, b[ tal que
Generalize. (Observação. O polinômio P (x) acima denomina-se polinômio interpolador de f(x) relativo aos pontos x , x e x e pode ser 0 1 2 obtido rapidamente pela fórmula
devida ao matemático italiano J. L. Lagrange (1736-1813).)
15.2 Teorema do Valor Médio
Seja f uma função definida em [a, b]. Consideremos a função S dada por
O gráfico de S é a reta passando pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Na
demonstração do TVM iremos utilizar a função dada por
g (x) = f(x) − S (x), x em [a, b].
Observe que g (a) = g (b) = 0.
Teorema (do valor médio — TVM). Se f for contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[, então
existirá pelo menos um c em ]a, b[ tal que
f(b) − f(a) = f′(c) (b − a).
Demonstração
Seja g função dada por
g (x) = f(x) − S (x), x em [a, b].
Como g é contínua em [a, b], derivável em ]a, b[ e g (a) = g (b), pelo
teorema de Rolle existe c em ]a, b[ tal que g′(c) = 0. Temos
Assim,
Daí
Portanto,
f(b) − f(a) = f′(c) (b − a).
Exercícios 15.2
1. Sejam I um intervalo, f uma função contínua em I e tal que |f′(x)|≤ M para
todo x no interior de I, em que M > 0 é um real fixo. Prove que quaisquer que sejam x e y em I
2. Prove que quaisquer que sejam s e t em [1, +∞[
3. Sejam a < b dois reais dados. Prove que
4. Prove que quaisquer que sejam a e b, a < b,
arctg b − arctg a < b − a.
Conclua que para todo x > 0
arctg x < x. 5. Seja f : ℝ → ℝ uma função. Dizemos que x é um ponto fixo de f se f(x ) 0 0