Um Curso de Cálculo, Volume 1
4.4 Limite de Função e Sequências
M real tal que a ≤ M para todo natural n. Prove que existe e que n
existe e que (Veja Seção A.4.)
9. Considere a sequência de termo geral
a) Prove que a é crescente. n
b) Prove que para todo natural n ≥ 1
c) Prove que existe e que é menor que 2.
(Compare com o Exercício 3.)
4.4 Limite de Função e Sequências
Seja f uma função tal que e a uma sequência que converge a p, n com a ∊ D e a ≠ p para todo natural n. É natural esperar que n f n
De fato, sendo dado ε > 0, existe δ > 0 tal que
Como a → p, para o δ > 0 acima existe um natural n tal que n 0
e como a ≠ p, para todo n, n
De ① e ②
Em particular, se f for contínua em p e se a convergir a p, com a ∊ D n n f
para todo n, então
Do que vimos acima resulta que se existirem duas sequências a e b , n n
com a ≠ p e b ≠ p para todo n, que convergem a p e se n n
então não existirá. Frequentemente, usa-se
este processo para mostrar a não existência de limite de uma função em um ponto.
Exemplo
Seja
Prove que para todo real p, não existe.
Solução
Para todo natural n ≠ 0, existem a e b , a racional e b irracional, n n n n
tais que
Segue, pelo teorema do confronto, que
Como pois f(a ) = 1 para todo n ≠ 0, e n
pois f(b ) = 0 para todo n ≠ 0, resulta que não existe. n
Exercícios 4.4
1. Seja
a) Calcule
b) Mostre que, para todo p ≠ 0, não existe.
2. Seja a sequência de termo geral a , com a > 0 para todo natural n. Sabe-n n
se que a real, e que para todo n. Calcule a.
3. Sejam f uma função, p um número real e suponha que existam duas
sequências a e b convergindo a p, com a e b pertencentes a D n n n n f para todo n, tais que
Podemos, então, afirmar que Por quê?
4. Sabe-se que a sequência é
convergente. Calcule
5. Sabe-se que a sequência é
convergente. Calcule seu limite.
6. Prove que não existe.