3.5 Limite de Função Composta

Sejam f e g duas funções tais que Im f ⊂ D , em que Im f é a imagem de f, ou g seja, Im f = {f(x) | x ∊ D |}. Nosso objetivo é estudar o limite f

 

Supondo que é razoável esperar que

 

desde que exista (observe: u = f(x); u → a para x → p). Veremos ① que a se verifica se g for contínua em a ou se g não estiver definida em a. Veremos, ainda, que se g estiver definida em a, mas não for contínua em a

① a se verificará desde que ocorra f(x) ≠ a para x próximo de

p. Os casos que interessarão ao curso são aqueles em que g ou é contínua em a ou não está definida em a. O quadro que apresentamos a seguir mostra como iremos trabalhar com o limite de função composta no cálculo de limites.

 

Suponhamos que existam funções g(u) e u = f(x), no qual g ou é contínua em a ou não está

de nida em a, tais que

 

e que exista. Então

Vamos antecipar alguns exemplos e deixar para o final da seção a

 

demonstração da validade de ①.

Exemplo 1

Calcule

 

Solução

 

Assim,

 

Exemplo 2

Calcule

Solução

Façamos 3 u = 3 – x ; assim

Para x → 1, u → 2. Então:

 

Exemplo 3

Calcule

Solução

Façamos 3 assim x = u – 2.

 

Assim,

 

Exemplo 4

Se

Solução

Como 2 h ( u ) = u é contínua (veja Exemplo 7-3.2)

 

Exemplo 5

Suponha g(x) ≠ 0, para todo x ∊ D , L ≠ 0 e Prove que g

 

Solução

 

Como é contínua em todo u ≠ 0 (veja Exercício 2-3.2), segue-se

que

 

Observação. Se L ≠ 0, pela conservação do sinal, existe r > 0 tal que

g(x) ≠ 0 para 0 < | x – p | < r, x ∊ D . g

 

Como o conceito de limite é um conceito local, segue-se que a

hipótese g(x) ≠ 0 que aparece no Exemplo 5 é dispensável. Assim,

Vamos, agora, demonstrar ① no caso em que g é contínua em a.

 

 

Teorema 1. Sejam f e g duas funções tais que Im f ⊂ D g . Se e g contínua em a,

então,

 

Demonstração

Sendo g contínua em a, Precisamos provar que, para todo ε > 0

dado, existe δ > 0 tal que

 

Como g é contínua em a, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que 1

 

Como para o δ > 0 acima existe δ > 0 tal que 1

 

De ② e ③ segue-se que

■

 

Observação. O Teorema 1 conta-nos que, se g for contínua em a e então

o que nos mostra que os símbolos e g

podem ser permutados em

 

O próximo exemplo nos diz que composta de funções contínuas é contínua.

Exemplo 6

Sejam f e g tais que Im f ⊂ D . Se f for contínua em p e g contínua em g

f(p), então a composta h(x) = g(f(x)) será contínua em p.

Solução

 

logo, h(x) = g(f(x)) é contínua em p.

 

Teorema 2. Sejam f e g duas funções tais que Im f ⊂ D , e g

Nestas condições, se existir um r > 0 tal que f(x) ≠a para 0 < | x – p | <r, então

existirá e

Demonstração

Como dado ε > 0, existe δ > 0 tal que 1

 

Como para o δ > 0 acima existe δ > 0 tal que 1 2

 

Tomando-se δ = mín {δ , r}, segue de ② e da hipótese 2

 

De ① e ② resulta

 

Assim,

 

■

 

Observação. Se g não estiver de nida em a, segue-se da hipótese Im f ⊂ D , que f(x) ≠ a para g

todo x ∊ D . Assim, neste caso, a condição “existe r > 0 tal que f(x) ≠ a para 0 < | x – p | < r” é f

dispensável. Entretanto, se g estiver de nida em a, mas não for contínua em a, tal condição é

indispensável como mostra o próximo exemplo.

 

Exemplo 7

Sejam f e g definidas em ℝ e dadas por f(x) = 1 e

Temos

Como g(f(x)) = 3 para todo x, segue que

 

Este fato ocorre em virtude de não estar satisfeita a condição “existe r >

0 tal que f(x) ≠ 1 para 0 < | x – p | < r”.

 

Exercícios 3.5

 

1. Calcule

 

2. Seja f definida ℝ. Suponha que Calcule

3. Seja f definida em ℝ e seja p um real dado. Suponha que

 

Calcule