7.2 Derivada de uma Função

Esses exemplos são suficientes para levar-nos a estudar de modo puramente

abstrato as propriedades do limite

 

7.2 Derivada de uma Função

 

Definição. Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. O limite

quando existe e é nito, denomina-se derivada de f em p e indica-se por f′(p) (leia: f linha de p).

Assim

 

Se f admite derivada em p, então diremos que f é derivável ou diferenciável em p.

 

Dizemos que f é derivável ou diferenciável em A ⊂ D se f for derivável f

em cada p ∊ A. Diremos, simplesmente, que f é uma função derivável ou diferenciável se f for derivável em cada ponto de seu domínio.

 

Observação. Segue das propriedades dos limites que

 

Assim

 

Conforme vimos na introdução, a reta de equação

 

é, por de nição, a reta tangente ao grá co de f no ponto (p, f(p)). Assim, a derivada de f, em p, é o

coe ciente angular da reta tangente ao grá co de f no ponto de abscissa p.

 

Exemplo 1

Seja 2 f ( x ) = x . Calcule.

a) f′(1)

 

b) f′(x)

 

c) f′(–3).

Solução

 

Assim

f′(1) = 2.

(A derivada de 2 f ( x ) = x , em p = 1, é igual a 2.)

 

Como

 

segue que

 

Portanto,

f 2 ( x ) = x ⇒ f′(x) = 2x.

Observe que f′(x) = 2x é uma fórmula que nos fornece a derivada de

f 2 ( x ) = x , em todo x real.

 

c) Segue de (b) que

f′(–3) = 2(–3) = –6.

 

Exemplo 2

Seja 2 f ( x ) = x . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no

ponto

 

a) (1, f(1)).

 

b) (–1, f(–1)).

Solução

 

a) A equação da reta tangente em (1, f(1)) é

substituindo em ① vem

y – 1 = 2(x – 1) ou y = 2x – 1.

Assim 2 y = 2 x – 1 é a equação da reta tangente ao gráfico de f ( x ) = x ,

no ponto (1, f(1)).

 

b) A equação da reta tangente em (–1, f(–1)) é

y – f(–1) = f′(–1)(x – (–1))

ou

y – f(–1) = f′(–1) (x + 1)

 

substituindo estes valores na equação vem

y – 1 = –2(x + 1) ou y = –2x – 1

que é a equação da reta tangente pedida.

Exemplo 3

Seja f(x) = k uma função constante. Mostre que f′(x) = 0 para todo x. (A

derivada de uma constante é zero.)

Solução

 

Como f(x) = k para todo x, resulta f(x + h) = k para todo x e todo h, assim

 

Exemplo 4

Seja f(x) = x. Prove que f′(x) = 1, para todo x.

Solução

 

Assim:

f(x) = x ⇒ f′(x) = 1.

 

Exemplo 5

Seja Calcule f′(2).

Solução

Assim:

 

isto é,

 

Exemplo 6

Seja

 

Calcule, caso exista, f′(0).

Solução

 

Logo, f′(0) existe e f′(0) = 0.

Exemplo 7

Mostre que f(x) = | x | não é derivável em p = 0.

Solução

 

logo, não existe, ou seja, f não é derivável em 0. Como

f′(0) não existe, o gráfico de f(x) = | x | não admite reta tangente em (0,

f(0)).

Sejam f uma função e (p, f(p)) um ponto de seu gráfico. Seja s a x

reta que passa pelos pontos (p, f(p)) e (x, f(x)). Se f′(p) existir, então o

gráfico de f admitirá reta tangente T em (p, f(p)); neste caso, à medida

que x se aproxima de p, quer pela direita, quer pela esquerda (só pela

direita, se f não estiver definida à esquerda de p; só pela esquerda, se f

não estiver definida à direita de p), a reta s tenderá para a posição da x

reta T.

Por outro lado, se, à medida que x tender a p pela direita, s se x

aproximar da posição de uma reta T e se à medida que x se aproximar 1

de p pela esquerda, s se aproximar da posição de outra reta T , T ≠ x 2 2

T , então o gráfico de f não admitirá reta tangente em (p, f(p)), ou seja, f′ 1

(p) não existirá.

 

O próximo exemplo destaca uma propriedade importante da reta

tangente.

 

Exemplo 8

Suponha f derivável em p e seja ρ (x), x ∊ D e x ≠ p, dada por f

f(x) = f(p) + f′(p)(x – p) + ρ (x)(x – p).

Mostre que

 

Solução

De segue

 

Observação. Se de nirmos ρ (p) = 0, a igualdade que aparece no Exemplo 8 será válida em x = p e a função ρ (x) tornar-se-á contínua em p.

 

Façamos no exemplo anterior E(x) = ρ (x)(x – p). Então, E (x) será o

erro que se comete na aproximação de f pela reta tangente em (p, f(p)).

 

Quando x tende a p, evidentemente E(x) tende a zero. O Exemplo 8

nos diz mais: nos diz que quando x tende a p o erro E(x) tende a zero

mais rapidamente que x – p, isto é,

Fica para o leitor verificar que, entre todas as retas que passam por (p, f(p)),

 

a reta tangente em (p, f(p)) é a única que aproxima f(x) de modo que o erro tenda a zero mais rapidamente que x – p. (Sugestão: Suponha que E(x) seja o erro que se comete na aproximação de f pela reta passando por (p, f(p)), com coeficiente angular m ≠ f′(p), e calcule o limite acima.)

 

Exercícios 7.2

 

1. 2 Seja f ( x ) = x + 1. Calcule

a) f′(1)

b) f′(0)

c) f′(x)

 

2. Seja f(x) = 2x. Pensando geometricamente, qual o valor que você espera

para f′(p)? Calcule f′(p).

 

3. Seja f(x) = 3x + 2. Calcule

a) f′(2)

b) f′(0)

c) f′(x)

4. Calcule f′(p), pela definição, sendo dados

 

5. Determine a equação da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados

 

6. Calcule f′(x), pela definição.

7. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f, definida e

derivável em ℝ, tal que f′(1) = 0.

 

8. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f, definida e

derivável em ℝ, tal que f′(x) > 0 para todo x.

 

9. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f, definida e

derivável em ℝ, tal que f′(0) < f′(1).

 

10. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f, definida e contínua

em ℝ, tal que f′(1) não exista.

 

11. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f, definida e

derivável em ℝ, tal que f′(x) > 0 para x < 1 e f′(x) < 0 para x > 1.

 

12. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f, definida e

derivável em ℝ, tal que f′(x) > 0 para x < 0, f′(x) < 0 para 0 < x < 2 e f′(x) > 0 para x > 2.

 

13. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f, definida e

derivável em ℝ, tal que f′(0) = 0 e f′(1) = 0.

14. Mostre que a função

 

não é derivável em p = 1. Esboce o gráfico de g.

 

15. Seja

a) Mostre que g é derivável em p = 1 e calcule g′(1).

b) Esboce o gráfico de g.

 

16. Seja

a) Esboce o gráfico de f.

b) f é derivável em p = 0? Em caso afirmativo, calcule f′(0).

 

17. Seja

a) Esboce o gráfico de g.

b) g é derivável em p = 1? Por quê?

 

18. Construa uma função f: ℝ → ℝ que seja contínua em ℝ e que seja

derivável em todos os pontos, exceto em –1, 0 e 1.