Um Curso de Cálculo, Volume 1
4 Extensões do Conceito de Limite
4.1 Limites no Infinito
Nosso objetivo, nesta seção, é dar um significado para os símbolos
(leia: limite de f(x), para x tendendo a mais infinito, é igual a L) e
Definição 1. Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que ]a, +∞[, ⊂ D . De nimos f
Definição 2. Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que ]–∞, a[, ⊂ D . De nimos f
Exemplo 1
Calcule e justifique.
Solução
Quanto maior o valor de x, mais próximo de zero estará .
Justificação
Dado ε > 0 e tomando-se
e, portanto,
Logo,
Deixamos para o leitor as demonstrações dos seguintes teoremas:
Teorema 1. Sejam f e g duas funções tais que Im f ⊂ D g e
a) Se g for contínua em a, então
b) Se g não estiver de nida em a e se existir, então
Teorema 2. Seja k uma constante e suponhamos que
Então
Observamos que os teoremas acima continuam válidos se substituirmos “x
→ +∞” por “x → –∞”.
Exemplo 2
Calcule no qual n > 0 é um número natural dado.
Solução
Exemplo 3
Calcule
Solução
Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre no
numerador e proceder da mesma forma no denominador. Deste modo,
irão aparecer no denominador e numerador expressões do tipo que
tendem a zero para x → +∞, o que poderá facilitar o cálculo do limite.
Exercícios 4.1
1. Calcule.
2. Sejam f e g definidas em [a, + ∞[ e tais que e
g(x) ≠ 0 para todo x ≥ a. Calcule, caso exista,
3. a) Calcule
b) Mostre que existe r > 0 tal que
4. a) Calcule
b) Mostre que existe r > 0 tal que 5. Sejam f e g definidas em [a, +∞[ e tais que f(x) ≥ 0 e g(x) > 0 para todo x ≥