Um Curso de Cálculo, Volume 1
D.2 Somas Superior e Inferior de Função Contínua
Sejam f uma função contínua em [a, b] e P : a = x < x < x < … < x 0 1 2 i − 1 < x < … < x = b uma partição de [a, b]. Como f é contínua, f assume em i n
[x , x ] (i = 1, 2, …, n) valor máximo M e valor mínimo m . As somas i − 1 i i i
e
denominam-se, respectivamente, soma superior e soma inferior de f, relativa à partição P.
Como m ≤ M , segue que, para toda partição P de [a, b], i i
Sejam P e P' duas partições de [a, b]; dizemos que P' é um refinamento
de P se P' ⊃ P. O próximo teorema conta-nos que quando se refina uma partição, a soma superior decresce e a inferior cresce.
Teorema. Seja f contínua em [a, b] e sejam P e P' duas partições quaisquer de [a, b], com P ⊂
P'. Então,
Demonstração
a) Suponhamos que P' tenha um ponto a mais que P, isto é, P' = P ∪
com ∈ [x , x ]. j − 1 j
Assim,
P : a = x < x < … < x < x < … < x = b 0 1 j − 1 j n
e
P' : a = x < x < … < x < < x < …< x = b. 0 1 j − 1 j n
Sejam e os valores mínimos de f em [x , ] e [ , x ], j − 1 j
respectivamente. Observe que
em que m é o valor mínimo de f em [x , x ]. j j − 1 j
Temos
e
Segue de ②
ou seja,
Portanto,
Deixamos para o aluno demonstrar, por indução finita, que se P' tem n
pontos a mais que P, então
b) Fica a cargo do aluno.
■
Corolário. Quaisquer que sejam as partições P e P de [a, b], 1 2
(Isto é, toda soma inferior é menor ou igual a toda soma superior.)
Demonstração
Seja P = P ∪ P ; assim P é um refinamento de P , bem como de P . 1 2 1 2 Por ①
e, pelo teorema,
Assim,
ou seja,
■
Seja f contínua em [a, b]. Pelo corolário acima, toda soma inferior (f,
P) é cota inferior do conjunto
Segue que tal conjunto admite ínfimo. Seja L o ínfimo de A. Como toda
soma inferior é cota inferior de A resulta, para toda partição P de [a, b],
Por outro lado, para toda partição P de [a, b] e qualquer que seja a
escolha de c em [x , x ], i i − 1 i
De ③ e ④ resulta