Um Curso de Cálculo, Volume 1
Apêndice E Demonstração do Teorema da Seção 13.4
Seja a equação
em que g e h' são supostas contínuas nos intervalos abertos I e I , 1 2
respectivamente. Consideremos os números reais t e x , com t ∈ I e 0 0 0 1 x ∈ I . 0 2
Tomemos r > 0 e r > 0 tais que 1 2
[t − r , t + r ] ⊂ I e [x − r , x + r ] ⊂ I . 0 1 0 1 1 0 2 0 2 2
Da continuidade de g e h', segue que existem α > 0 e β > 0 tais que
e
Observamos, ainda, que, quaisquer que sejam u e v em [x − r , x + 0 2 0
r ], 2
De fato, pelo TVM existe entre u e v tal que
e tendo em vista ② segue ③.
Suponhamos, agora, que x = x (t), t ∈ I, em que I é um intervalo aberto
contido em I , seja solução do problema 1
Então, para todo t em I,
x'(t) = g (t) h (x (t))
e, portanto, para todo t em I
ou seja,
Sendo x = x (t), t ∈ I, solução de ④ , tal função será contínua; logo,
existe r > 0 (com [t − r, t + r] ⊂ I) tal que 0 0
Podemos escolher r de modo que
Lema 1. Se x = x (t), t ∈ I, for solução de ④ e se h (x ) = 0, então 0
x (t) = x em [t − r, t + r]. 0 0 0
Demonstração
De ⑤ e da hipótese segue
Segue de ③ e de ⑥ que, para todo s em [t − r, t + r], 0 0
Então, para todo t em [t − r, t + r] 0 0
Sendo M o máximo de | x(t) − x | em [t − r, t + r], resulta 0 0 0
ou
e, assim, para todo t em [t − r, t + r] 0 0
e, portanto,
M ≤ αβMr (por quê?).
Se tivéssemos M > 0 (observe que M ≥ 0), teríamos 1 ≤ αβ r ou r ≥
que contradiz ⑦; segue então que M = 0. Logo
x(t) = x em [t − r, t + r]. 0 0 0
■
Lema 2. Se x = x (t), t ∈ I, for solução de ④ e se h (x ) = 0, então 0
x (t) = x em I. 0
Demonstração
Pelo lema 1, existe r > 0 tal que
x (t) = x em [t − r, t + r]. 0 0 0
Seja B = {b ∈ I | x(t) = x em [t − r, b[}. Se B não for limitado 0 0
superiormente, teremos x (t) = x em [t − r, +∞[ e +∞ será, então, a 0 0 extremidade superior de I. Se B for limitado superiormente, admitirá supremo e, assim,
Se pertencer a I, pela continuidade de x = x (t), resultará x( ) = x ; 0
seguirá, então, pelo lema 1 que existirá > 0 tal que
contradição. Assim é a extremidade superior de I. Deixamos a seu cargo concluir que
x (t) = x em I. 0
■
Teorema. Seja a equação
em que g e h são de nidas em intervalos abertos I e I , respectivamente, com g contínua 1 2
em I e h' contínua em I . Nestas condições, se x = x (t), t ∈ I, for solução não constante da 1 2
equação, então, para todo t em I,
h (x(t)) ≠ 0.
Demonstração
Se, para algum t em I tivéssemos h (x (t )) = 0, pelo lema 2, teríamos, 0 0
para todo t em I,
x (t) = x (t ). 0
■
OceanofPDF.com