3.2 Definição de Função Contínua

 

Sejam f e g funções de gráficos

Observe que f e g se comportam de modo diferente em p; o gráfico de f não

apresenta “salto” em p, ao passo que o de g, sim. Queremos destacar uma propriedade que nos permita distinguir tais comportamentos.

Veja as situações apresentadas a seguir.

 

A função f satisfaz em p a propriedade

para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que f(x) permanece entre f(p) – ε e f(p)

+ ε quando x percorre o intervalo ]p – δ, p + δ[, com x no domínio de f.

 

ou de forma equivalente

①

 

para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que, para todo x ∊ D , f

p – δ < x < p + δ ⇒ f(p) – ε < f(x) < f(p) + ε.

 

Entretanto, a função g não satisfaz em p tal propriedade:

 

para o ε > 0 acima, não existe δ > 0 que torne verdadeira a afirmação

 

Qualquer que seja o δ > 0 que se tome, quando x percorre o intervalo ]p – δ,

p + δ[, g(x) não permanece entre g(p) – ε e g(p) + ε.

A propriedade ① distingue os comportamentos de f e de g em p.

Adotaremos a propriedade ① como definição de função contínua em p.

De nição. Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio D . De nimos: f

 

Observação. Sabemos que

 

e

 

A definição anterior pode, então, ser reescrita, em notação de módulo, na

seguinte forma:

 

Dizemos que f é contínua em A ⊂ D se f for contínua em todo p ∊ A. f

Dizemos, simplesmente, que f é uma função contínua se f for contínua em todo p de seu domínio.

Exemplo 1

Prove que f(x) = 2x + 1 é contínua em p = 1.

Solução

Precisamos provar que, para cada ε > 0 dado, conseguiremos um δ > 0 (δ

dependendo apenas de ε), tal que

1 – δ < x < 1 + δ ⇒ f(1) – ε < f(x) < f(1) + ε.

O ε > 0 é dado, queremos achar δ > 0. Devemos determinar δ > 0 de

modo que f(x) permaneça entre f(1) – ε e f(1) + ε para x entre 1 – δ e 1 +

δ. Vamos então resolver a inequação

f(1) – ε < f(x) < f(1) + ε.

Temos

f(1) – ε < f(x) < f(1) + ε ⇔ 3 – ε < 2x + 1 < 3 + ε.

Somando –1 aos membros das desigualdades e dividindo por 2, resulta

 

Então, dado ε > 0 e tomando-se (qualquer δ > 0 com

também serve!), resulta

1 – δ < x < 1 + δ ⇒ f(1) – ε < f(x) < f(1) + ε.

Logo, f é contínua em p = 1.

O exemplo acima pode também ser resolvido em notação de módulo.

Neste caso, precisamos provar que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

 

Temos

Assim, dado ε > 0 e tomando-se

 

Logo, f é contínua em p = 1.

 

Exemplo 2

A função constante f(x) = k é contínua em todo p real.

Solução

para todo x e todo p; assim, dado ε > 0 e

tomando-se um δ > 0 qualquer

 

Logo, f é contínua em p, qualquer que seja p. Como f é contínua em todo

p de seu domínio, resulta que f(x) = k é uma função contínua.

 

Exemplo 3

A função afim f(x) = ax + b (a e b constantes) é contínua.

Solução

Se a = 0, f é constante, logo contínua.

Suponhamos, então, a ≠ 0. Temos:

Assim, para todo ε > 0 dado

 

Tomando-se, então,

 

logo, f é contínua em p. Como p foi tomado de modo arbitrário, resulta

que f é contínua em todo p real, isto é, f é contínua.

 

Os dois próximos exemplos poderão facilitar as coisas em muitas ocasiões.

Antes, porém, observamos que se p ∊ ]a, b[, a e b reais, então existe δ > 0, tal que ]p – δ, p + δ[ ⊂ ]a, b[; basta, por exemplo, tomarmos δ = mín {b – p, p – a}.

 

Veja

 

Em qualquer caso, δ = mín {b – p, p – a} resolve o problema.

 

Exemplo 4

Prove que, se para todo ε > 0 dado existir um intervalo aberto I = ]a, b[,

com p ∊ I, tal que para todo x ∊ D f

x ∊ I ⇒ f(p) – ε < f(x) < f(p) + ε

então f será contínua em p.

Solução

Pela hipótese, para todo ε > 0 dado existe um intervalo aberto I = ]a, b[,

com p ∊ I, tal que

① x ∊ ]a, b[ ⇒ f(p) – ε < f(x) < f(p) + ε.

Tomando-se δ = mín {b – p, p – a}, ]p – δ, p + δ[ ⊂ ]a, b[. Assim,

x ∊ ]p – δ, p + δ[ ⇒ x ∊ ]a, b[.

Segue de ① que

x ∊ ]p – δ, p + δ[ ⇒ f(p) – ε < f(x) < f(p) + ε.

Logo, f é contínua em p.

 

Exemplo 5

Seja r > 0 um real dado. Suponha que, para todo ε < r, ε > 0, existe um

intervalo aberto I, com p ∊ I, tal que para todo x ∊ D f

x ∊ I ⇒ f(p) – ε < f(x) < f(p) + ε.

Prove que f é contínua em p.

Solução

Precisamos provar (tendo em vista o exemplo anterior) que, para todo ε >

0, existe um intervalo aberto I, com p ∊ I, tal que para todo x em D f

x ∊ I ⇒ f(p) – ε < f(x) < f(p) + ε.

Pela hipótese, se ε < r, existe tal intervalo.

Suponhamos, então, ε ≥ r. Seja 0 < ε < r. 1 Pela hipótese, para o ε dado, existe I tal que 1

x ∊ I ⇒ f(p) – ε < f(x) < f(p) + ε . 1 1

Para este mesmo I teremos, também,

x ∊ I ⇒ f(p) – ε < f(x) < f(p) + ε

pois, f(p) – ε < f(p) – ε e f(p) + ε < f(p) + ε. (Interprete graficamente.) 1 1

Assim:

 

para f ser contínua em p, basta que, para cada ε < r, ε > 0 (em que r > 0 é xado a priori), exista um intervalo aberto I, com p ∊ I, tal que, para todo x em D , f

x ∊ I ⇒ f(p) – ε < f(x) < f(p) + ε.

 

Exemplo 6

Mostre que 3 f ( x ) = x é contínua em 1.

Solução

Precisamos mostrar que dado ε > 0, existe um intervalo aberto I,

contendo 1, tal que

x ∊ I ⇒ f(1) – ε < f(x) < f(1) + ε.

Vamos resolver a inequação f(1) – ε < f(x) < f(1) + ε.

Temos

 

Tomando-se

x ∊ I ⇒ f(1) – ε < f(x) < f(1) + ε.

Logo, 3 f ( x ) = x é contínua em 1.

Observação. Tomando-se

1 – δ < x < 1 + δ ⇒ f(1) – ε < f(x) < f(1) + ε.

Exemplo 7

Prove que 2 f ( x ) = x é contínua.

Solução

Precisamos provar que f é contínua em todo p real (D = ℝ). f

Primeiro vamos provar que f é contínua em 0. Convém, aqui, usar a

definição em notação de módulo. Vamos provar, então, que dado ε > 0

existe δ > 0 tal que

 

Para se ter | 2 x | < ε, basta que se tenha Tomando-se

 

Logo, 2 f ( x ) = x é contínua em 0.

Vamos provar, agora, a continuidade de f em todo p ≠ 0. Temos

f 2 2 2 ( p ) – ε < f ( x ) < f ( p ) + ε ⇔ p – ε < x < p + ε.

Para 2 ε < p , ε > 0,

 

Se p > 0, tomamos assim

x 2 2 2 ∊ I ⇒ p – ε < x < p + ε.

Se p < 0, tomamos assim

x 2 2 2 ∊ I ⇒ p – ε < x < p + ε.

Logo, 2 f ( x ) = x é contínua em todo p real. (Interprete graficamente.)

 

Exemplo 8

 

é contínua em p = 1? Justifique.

Solução

Intuitivamente, vemos que f não é contínua em p = 1, pois o gráfico

apresenta “salto” neste ponto. Para provar que f não é contínua em p = 1,

precisamos achar um ε > 0 para o qual não exista δ > 0 que torne

verdadeira a afirmação

“∀x ∊ D , 1 – δ < x < 1 + δ ⇒ f(1) – ε < f(x) < f(1) + ε”. f

Como f(x) = 1 para x < 1 e f(1) = 2, tomando-se (ou 0 < ε < 1),

para todo δ > 0,

1 – δ < x < + ⇒ f(x) = 1

e 1 não está entre Logo, não existe δ > 0 que torna

verdadeira a afirmação

 

Portanto, a função dada não é contínua em p = 1. Observe que f é

contínua em todo p ≠ 1.

 

O próximo exemplo destaca uma propriedade importante (conservação do

sinal) das funções contínuas. Tal propriedade conta-nos que se f for contínua em p e f(p) ≠ 0, então existirá um δ > 0 tal que f(x) conservará o sinal de f(p) para p – δ < x < p + δ, x ∊ D . f

 

Exemplo 9

Seja f contínua em p e f(p) > 0. Prove que existe δ > 0 tal que, ∀x ∊ D , f

p – δ < x < p + δ ⇒ f(x) > 0.

Solução

Como, por hipótese, f é contínua em p, dado ε > 0, existirá δ > 0 tal que

∀x ∊ D f

① p – δ < x < p + δ ⇒ f(p) – ε < f(x) < f(p) + ε.

Como para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que ① ocorre, tomando-se, em

particular, ε = f(p) (por hipótese f(p) > 0), existirá um δ > 0 tal que, ∀x ∊

D , f

p – δ < x < p + δ ⇒ f(p) – f(p) < f(x) < f(p) + f(p)

e, portanto,

p – δ < x < p + δ ⇒ f(x) > 0.

De modo análogo, prova-se que se f for contínua em p e f(p) < 0,

então (neste caso basta tomar ε = –f(p)) existirá δ > 0 tal que

p – δ < x < p + δ ⇒ f(x) < 0.

 

Exercícios 3.2

 

1. Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

a) f(x) = 4x – 3 em p = 2

b) f(x) = x + 1 em p = 2

c) f(x) = –3x em p = 1

d 3 ) f ( x ) = x em p = 2

e 4 ) f ( x ) = x em p = –1

2. Prove que é contínua em todo p ≠ 0.

 

 

3. n Seja n > 0 um natural. Prove que f ( x ) = x é contínua.

 

4. Prove que é contínua.

 

5. é contínua em 1? Justifique.

 

6. Dê exemplo de uma função definida em ℝ e que seja contínua em todos os

pontos, exceto em –1, 0, 1.

 

7. Dê exemplo de uma função definida em ℝ e que seja contínua em todos os

pontos exceto nos inteiros.

 

8. Seja f dada por Mostre que f é descontínua em todo

p real.

9. Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é contínua.

 

10. Dê exemplo de uma função definida em ℝ e que seja contínua apenas em

–1, 0,1.

 

11. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado.

Justifique.

 

12. Dê o valor (caso exista) que a função dada deveria ter no ponto dado para

ser contínua neste ponto. Justifique.

13. Sabe-se que f é contínua em 2 e que f(2) = 8. Mostre que existe δ > 0 tal

que para todo x ∊ D f

2 – δ < x < 2 + δ ⇒ f(x) > 7.

 

14. Sabe-se que f é contínua em 1 e que f(1) = 2. Prove que existe r > 0 tal que

para todo x ∊ D f

 

15. Seja f uma função definida em ℝ e suponha que existe M > 0 tal que | f(x)

– f(p) | ≤ M | x – p | para todo x. Prove que f é contínua em p.

Suponha que | 2 f ( x ) – f (1) | ≤ ( x – 1) para todo x. Prove que f é contínua

16. em 1.

 

17. 2 Suponha que | f ( x ) | ≤ x para todo x. Prove que f é contínua em 0.

 

18. Prove que a função é contínua em 0.

 

19. Sejam f e g definidas em ℝ e suponha que existe M > 0 tal que | f(x) – f(p) |

≤ M | g(x) – g(p) | para todo x. Prove que se g for contínua em p, então f também será contínua em p.

 

20. Suponha f definida e contínua em ℝ e que f(x) = 0 para todo x racional.

Prove que f(x) = 0 para todo x real.

 

21. Sejam f e g contínuas em ℝ e tais que f(x) = g(x) para todo x racional.

Prove que f(x) = g(x) para todo x real.

 

22. Suponha que f e g são contínuas em ℝ e que exista a > 0, a ≠ 1, tal que

para todo r r r racional, f ( r ) = a e g ( r ) = a . Prove que f(x) = g(x) em ℝ.

 

23. Seja Prove