Um Curso de Cálculo, Volume 1
7.11 Aplicações da Regra da Cadeia
Fazendo em ② x = g(t) e p = g(t ) e, em seguida, 0
dividindo ambos os membros por t – t , (t ≠ t ), obtemos 0 0
Temos
Por outro lado, de E(x) = ρ(x)(x – p) segue E(g(t)) = ρ(g(t))(g(t) – g(t )). 0
Temos
Daí
Portanto
7.11 Aplicações da Regra da Cadeia
Pelo que vimos na seção anterior, sendo y = f(u) e u = g(x) deriváveis, com Im g ⊂ D , então a derivada da composta y = f(g(x)) é dada por f
ou
ou
em que deve ser calculada em u = g(x).
Exemplo 1
Calcule a derivada.
a) 3x y = e .
b 2 ) y = sen t .
Solução
a) u y = e , em que u = 3x. Pela regra da cadeia
Como resulta
b) 2 y = sen x , em que x = t . Pela regra da cadeia
Como resulta
Poderíamos, também, ter obtido aplicando diretamente a fórmula
[ f(g(t))]′ = f′(g(t))g′(t). Veja:
Exemplo 2
Calcule f′(x), sendo
a) 2 3 f ( x ) = (3 x + 1) .
b) f(x) = cos 3x.
Solução
a) 3 2 f ( x ) = u , em que u = 3 x + 1. Temos
ou seja,
f 2 2 ′( x ) = 18 x (3 x + 1) .
b) f′(x) = [cos 3x]′ = cos′ 3x · (3x)′ = –3 sen 3x.
Exemplo 3
Calcule 2 sendo y = ln( x + 3).
Solução
y 2 = ln u , u = x + 3.
Exemplo 4
Seja f: ℝ → ℝ uma função derivável e seja g(x) = f(cos x). Calcule
supondo
Solução
Pela regra da cadeia
g′(x) = f′(cos x) (cos x)′
ou seja,
g′(x) = –sen x f′(cos x).
Então
Exemplo 5
Suponha g derivável. Verifique que
Solução
a) u y = e , u = g(x).
Assim,
ou seja,
[ g (x) g (x) e ]′ = e g′(x).
b) y = ln u, u = g(x)
(c) e (d) ficam a seu cargo.
Exemplo 6
Seja 2 3x y = x e . Calcule a derivada.
Solução
Pela regra do produto,
Como ( 2 3x 3x 3x x )′ = 2 x e ( e )′ = e (3 x )′ = 3 e resulta
ou seja,
Exemplo 7
Seja –2x y = xe . Verifique que
Solução
Exemplo 8
Calcule sendo y = cos 5x.
Solução
Exemplo 9
Calcule
Solução
Exemplo 10
Seja g derivável e n ≠ 0 inteiro. Verifique que
Solução
a) n y = u , u = g(x).
ou seja,
b) Fica a seu cargo.
Exemplo 11
Seja a f : ℝ → ℝ uma função derivável até a 2 ordem e seja g dada por
g 2 ( x ) = f ( x ). Calcule g″(2), supondo f′(4) = 2 e f″(4) = 3.
Solução
g 2 2 2 ′( x ) = f ′( x )( x )′ = 2 x f ′( x ).
g 2 2 2 ″( x ) = [2 x f ′( x )]′ = (2 x )′ f ′( x ) + 2 x [ f ′( x )]′.
Como [ 2 2 2 2 f ′( x )]′ = f ″( x )( x )′ = f ″( x )2x, resulta
g 2 2 2 ″( x ) = 2 f ′( x ) + 4 x f ″( x ).
Então,
g″(2) = 2 f′(4) + 16 f″(4)
ou seja,
g″(2) = 52.
Exemplo 12
A função diferenciável y = f(x) é tal que, para todo x ∊ D , f
xf(x) + sen f(x) = 4.
Mostre que
para todo x ∊ D , com x + cos f(x) ≠ 0. f
Solução
[xf(x) + sen f(x)]′ = 4′.
[xf(x)]′ + [sen f(x)]′ = 0.
f(x) + xf′(x) + [cos f(x)] · f′(x) = 0
daí
f′(x)[x + cos f(x)] = –f(x),
ou seja,
em todo x ∊ D com x + cos f(x) ≠ 0. f
Exemplo 13
Seja 3 a y = x , em que x = x ( t ) é uma função derivável até a 2 ordem.
Verifique que
Solução
Exercícios 7.11
1. Determine a derivada.
a) y = sen 4x
b) y = cos 5x
c 3x ) f ( x ) = e
d) f(x) = cos 8x
e 3 ) y = sen t
f) g(t) = ln (2t + 1)
g sen t ) x = e
h x ) f ( x ) = cos e
i 3 ) y = (sen x + cos x )
m –5x ) y = e
n 2 ) x = ln ( t + 3 t + 9)
o tg x ) f ( x ) = e
p) y = sen (cos x)
q 2 4 ) g ( t ) = ( t + 3)
r 2 ) f ( x ) = cos ( x + 3)
t) y = tg 3x
u) y = sec 3x
2. 2 Seja f : ℝ → ℝ derivável e seja g ( t ) = f ( t + 1). Supondo f′(2) = 5, calcule
g′(1).
3. 2x Seja f : ℝ → ℝ derivável e seja g dada por g ( x ) = f ( e ). Supondo f′(1) = 2,
calcule g′(0).
4. Derive.
5. Calcule a derivada segunda.
6. 2 Seja g : ℝ → ℝ uma função diferenciável e seja f dada por f ( x ) = xg ( x ).
Verifique que
f 2 2 2 ′( x ) = g ( x ) + 2 x g ′( x ).
7. 2 Seja g : ℝ → ℝ uma função diferenciável e seja f dada por f ( x ) = xg ( x ).
Calcule f′(1) supondo g(1) = 4 e g′(1) = 2.
8. Seja g: ℝ → ℝ diferenciável tal que g(1) = 2 e g′(1) = 3. Calcule f′(0),
sendo x f dada por f ( x ) = e g(3x + 1).
9. a 2x Seja f : ℝ → ℝ derivável até a 2 ordem e seja g dada por g ( x ) = f ( e ).
Verifique que
g 2x 2x 2x 2x ″( x ) = 4 e [ f ′( e ) + e f ″( e )].
10. 2x Seja y = e . Verifique que
11. 2x Seja y = xe . Verifique que
12. αx Determine α de modo que y = e verifique a equação 13. αx Determine α de modo que y = e verifique a equação
14. αx 2 Seja y = e , em que α é uma raiz da equação λ + aλ + b = 0, com a e b
constantes. Verifique que
15. Seja g uma função derivável. Verifique que
a 2 ) [tg g ( x )]′ = sec g(x) ·g′(x)
b) [sec g(x)]′ = sec g(x) tg g(x) ·g′(x)
c 2 ) [cotg g ( x )]′ = –cosec g(x) ·g′(x)
d) [cosec g(x)]′ = –cosec g(x)cotg g(x) ·g′(x)
16. Derive.
a) y = tg 3x
b) y = sec 4x
c 2 ) y = cotg x
d) y = sec (tg x)
e 3 ) y = sec x
f tg 2 x ) y = e
g) y = cosec 2x
h 3 ) y = x tg 4 x
i) y = ln (sec 3x + tg 3x)
j – x 2 ) y = e sec x
l 2 2 3 ) y = ( x + cotg x )
m 2 ) y = x tg 2 x
17. Seja y = cos ωt, ω constante. Verifique que
18. – Seja y = e cos 2t. Verifique que t
19. Seja Verifique que
20. a Seja y = f ( x ) derivável até a 2 ordem. Verifique que 21. Seja Verifique que
22. Seja y = y(x) definida no intervalo aberto I e tal que, para todo x em I,
Verifique que, para todo x em I,
23. Seja y = f(x) uma função derivável num intervalo aberto I, com 1 ∊ I.
Suponha 3 f (1) = 1 e que, para todo x em I , f ′( x ) = x + [ f ( x )] .
a) Mostre que f″(x) existe para todo x em I.
b) Calcule f″(1).
c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abscissa 1.
24. a Seja y = y ( r ) derivável até a 2 ordem. Verifique que 25. Seja em que x = x(t) é uma função definida e derivável em ℝ.
Verifique que, para todo t real,
26. Seja em que x = x(t) é uma função derivável num intervalo aberto
I. Suponha que, para todo t em I, x(t) ≠ 0 e β constante. Verifique
que
27. 2 Seja f uma função diferenciável e suponha que, para todo x ∊ D , 3 x + x
f
sen f(x) = 2. Mostre que para todo x ∊ D , com x f cos f(x) ≠ 0.
28. A função diferenciável y = f(x) é tal que, para todo x ∊ D , o ponto (x, f
f 3 2 ( x )) é solução da equação xy + 2 xy + x = 4. Sabe-se que f(1) = 1. Calcule f′(1).
29. Seja f: ]–r, r[ → ℝ uma função derivável. Prove
a) Se f for uma função ímpar, então f′ será par.
b) Se f for função par, então f′ será ímpar.