13.7 Área em Coordenadas Polares

b)

c) x = 1 − cos t e y = t − sen t, 0 ≤ t ≤ π

d)

 

e t t ) x = e cos t e y = e sen t, 0 ≤ t ≤ π.

 

2. Uma partícula desloca no plano com equações paramétricas x = x (t) e y =

y (t). Sabe-se que, para todo t,

. Sabe-

se, ainda, que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição (0, 0). Determine a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = T, em que T é o instante em que a partícula volta a tocar o eixo x. Como é a trajetória descrita pela partícula?

 

13.7 Área em Coordenadas Polares

Fixado no plano um semieixo Ox (tal semieixo denomina-se eixo polar, e o ponto O, polo),

 

cada ponto P do plano fica determinado por suas coordenadas polares (θ, ρ), em que θ é a medida em radianos do ângulo entre o segmento OP e o eixo polar (tal ângulo sendo contado a partir do eixo polar e no sentido anti-horário) e ρ o comprimento de OP; assim ρ ≥ 0.

Se considerarmos no plano um sistema ortogonal de coordenadas

cartesianas (o habitual) em que a origem coincide com o polo e o semieixo Ox com o eixo polar e se (θ, ρ) forem as coordenadas polares de P, então as suas coordenadas cartesianas serão dadas por

 

Observe que se P não coincide com o polo

 

Até agora, destacamos ρ como um número positivo. Entretanto, para as

aplicações é importante que ρ possa assumir, também, valores negativos. Vejamos como interpretar (θ, ρ) no caso ρ < 0:

Se ρ < 0, (θ, ρ) é o simétrico, em relação ao polo, do ponto (θ, −ρ).

 

Para podermos trabalhar com ρ < 0, será melhor olharmos para o eixo polar

como uma reta com um sistema de abscissas: sobre tal reta marcam-se dois pontos, um o polo 0 representando o zero e outro representando o 1. O sentido positivo será o de 0 para 1 e a unidade de comprimento será o segmento de extremidades 0 e 1. Para representar no plano um ponto de coordenadas polares (θ, ρ) proceda da seguinte forma: primeiro gire o eixo polar, no sentido anti-horário, de um ângulo θ; em seguida, sobre este novo eixo, marque o ponto que tenha abscissa ρ.

 

Exemplo 1

Represente no plano o ponto (θ, ρ) em que

a) θ = 0 e ρ = 1

b) θ = 0 e ρ = −1

c)

d)

 

Solução

 

Exemplo 2

Um ponto P desloca-se no plano de modo que a relação entre suas

coordenadas polares é dada por ρ = θ, 0 ≤ θ ≤ 2π. Desenhe o lugar

geométrico descrito por P.

Sempre que formos esboçar o gráfico de uma curva dada em

 

coordenadas polares, é bom antes fazer um esboço da curva supondo θ e

ρ coordenadas cartesianas e olhar, por meio deste gráfico, a variação de ρ

em função de θ.

 

Exemplo 3

Desenhe a curva cuja equação, em coordenadas polares, é ρ = sen θ, 0 ≤

θ ≤ π.

Observe que para ρ ≠ 0

ρ 2 2 2 = sen θ ⇔ ρ = ρ sen θ ⇔ x + y = y.

x 2 2 + y − y = 0 é a equação de uma circunferência de centro e

raio . Deste modo, ρ = sen θ, 0 ≤ θ ≤ π, é, em coordenadas polares, a

equação de tal circunferência.

 

Exemplo 4

Desenhe o lugar geométrico da equação (em coordenadas polares) ρ = 1

− cos θ.

Esta curva denomina-se cardioide.

 

Exemplo 5

Desenhe a curva cuja equação, em coordenadas polares, é ρ = cos 2θ.

Veja como fica o trecho da curva anterior para θ variando de 0 a .

Quando θ varia de a e de a , ρ permanece negativo.

 

Exemplo 6

Desenhe o lugar geométrico descrito por um ponto P que se desloca no

plano, sabendo que a relação entre suas coordenadas polares

.

Solução

Vejamos, primeiro, o que acontece para θ variando de 0 a . Quando

, ρ → +∞. A projeção de P sobre o eixo polar tem abscissa

x = ρ cos θ = tg θ cos θ = sen θ.

Assim, quando , a projeção de P sobre o eixo polar tende para o

ponto de abscissa 1. O trecho da curva correspondente a θ em

é simétrico, em relação ao eixo polar, ao trecho correspondente a θ em

.

Nosso objetivo, a seguir, é estabelecer uma fórmula para o cálculo de área

de região limitada por curvas dadas em coordenadas polares.

Inicialmente, observamos que a área de um setor circular de raio R e

abertura Δθ é . Esta área se determina por uma regra de três simples:

2π 2 rd — área π R

Δθ rd — ?

Consideremos, agora, a função ρ = ρ (θ) contínua e ≥ 0 em [θ , θ ]. i − 1 i

Seja A o conjunto de todos os pontos (θ, ρ), com θ ≤ θ ≤ θ e 0 ≤ ρ ≤ ρ i i − 1 i (θ).

 

Seja o maior valor de ρ em o menor

valor. A área do conjunto A está, então, compreendida entre as áreas dos i

setores circulares de abertura Δθ e raios e : i

Suponhamos, agora, ρ = ρ (θ) contínua e ≥ 0 em [α, β], com β − α ≤ 2π.

Seja A o conjunto de todos os pontos do plano de coordenadas polares (θ, ρ) satisfazendo as condições: α ≤ θ ≤ β e 0 ≤ ρ ≤ ρ (θ).

 

Seja P : α = θ < θ < … < θ < θ < … < θ = β uma partição de [α, 0 1 i − 1 i n

β]. Sejam e os valores mínimo e máximo de ρ em [θ , θ ]. i − 1 i Pelo que vimos anteriormente, a área da parte do conjunto A compreendida entre as retas θ = θ e θ = θ está compreendida entre as áreas dos setores i − 1 i

circulares de abertura Δθ e raios e . Uma definição razoável para i

a área de A deverá implicar, para partição P de [α, β],

 

Para máx Δθ → 0, as somas de Riemann acima tendem para a integral i

. Nada mais natural, então, do que definir a área de A por

 

Exemplo 7

Calcule a área da região limitada pelo cardioide ρ = 1 − cos θ.

Solução

Para cobrir todo o conjunto, θ deverá variar de 0 a 2π.

 

Temos

 

Assim, a área do conjunto é .

 

Exemplo 8

Calcule a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas

(coordenadas polares) ρ = 3 cos θ e ρ = 1 + cos θ.

Solução

Primeiro devemos determinar as interseções das curvas.

3 cos θ = 1 + cos θ

ou seja,

 

Assim, θ = e θ = − resolvem o problema. Seja A o conjunto de 1

todos (θ, ρ) com 0 ≤ θ ≤ e 0 ≤ ρ ≤ 1 + cos θ e seja A o conjunto de 2

todos (θ, ρ) com ≤ θ ≤ e 0 ≤ ρ ≤ 3 cos θ. Temos, então:

 

área pedida = 2 (área A + área A ). 1 2

 

Conclusão: área pedida = . Veja figuras a seguir.

Exemplo 9

 

Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordenadas

polares por ρ = tg θ, 0 ≤ θ < , pela reta x = 1 (coordenadas cartesianas)

e pelo eixo polar.

Solução

Indiquemos por A (θ) a área da região sombreada. A área que queremos

é:

 

Temos

Vamos calcular . Temos

 

Assim

 

Portanto,

 

Observação. No triângulo OPM temos:

Assim, área Δ 2 OPM = sen θ tg θ.

 

Exercícios 13.7

 

1. Desenhe a curva dada (coordenadas polares).

a −θ ) ρ = e , θ ≥ 0

b) ρ = cos θ

c)

d) ρ = 2

e)

f)

g) ρ = cos 3θ

h)

i) ρ = 2 − cos θ

j) ρ = 1 − sen θ

l) ρ = cos 4θ

m)

n)

o 2 ) ρ = cos θ

 

2. Passe a curva dada para coordenadas polares e desenhe-a.

a 4 4 ) x − y = 2xy

b)

c)

d 2 2 2 2 2 ) ( x + y ) = x − y

 

3. Calcule a área da região limitada pela curva dada (coordenadas polares).

a) ρ = 2 − cos θ

b 2 ) ρ = cos θ (ρ ≥ 0)

c) ρ = cos 2θ

d) ρ = cos 3θ

 

4. Calcule a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas dadas em

coordenadas polares.

a) ρ = 2 − cos θ e ρ = 1 + cos θ

b) ρ = sen θ e ρ = 1 − cos θ

c) ρ = 3 e ρ = 2 (1 − cos θ)

d 2 2 ) ρ = cos θ e ρ = sen θ (ρ ≥ 0)

e) ρ = cos θ e ρ = sen θ

f) ρ = 1 e ρ = 2 (1 − cos θ)

 

5. 2 Calcule a área do conjunto de todos os pontos ( θ , ρ ) tais que θ ≤ ρ ≤ θ

(coordenadas polares).

 

6. o Calcule a área da região situada no 1 quadrante, limitada acima pela

curva 4 4 2 x − y = 2 xy (coordenadas cartesianas) e abaixo por ρ = 2 sen 2θ (coordenadas polares), com ρ ≥ 0.

 

7. a) Escreva, em coordenadas polares, a equação da elipse

tomando como polo a origem e como eixo polar o semieixo Ox.

b) Escreva, em coordenadas polares, a equação da elipse

tomando como polo o foco F = (c, 0), c > 0, e como eixo polar a semirreta FA em que A = (a, 0), a > 0. (Faça e = e ρ = a − ec.)

 

8. Sejam F e F dois pontos distintos do plano e seja k a metade da 1 2

distância de F a F . O lugar geométrico dos pontos P do plano tais que 1 2

denomina-se lemniscata de focos F e F . 1 2

a) Tomando-se F = (−k, 0) e F = (k, 0), determine a equação, em 1 2

coordenadas cartesianas, da lemniscata.

b) Passe para coordenadas polares a equação obtida no item a) tomando

para polo a origem e x como eixo polar. Desenhe a curva. 13.8 Comprimento de Curva em Coordenadas Polares