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Um Curso de Cálculo, Volume 1

Hamilton Luiz Guidorizzi · Capítulo 111 de 111

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Um Curso de Cálculo, Volume 1

Respostas, Sugestões ou Soluções

Abaixo as respostas da maioria dos exercícios numerados.

 

CAPÍTULO 1

CAPÍTULO 2

29. a) y = x + 1

b) y = 2x + 3

c) y = –3x – 5

d)

 

e) y = 2

f)

b) h(2) = 4

37. Quadrado

38. Divida em partes iguais

CAPÍTULO 3

CAPÍTULO 4

CAPÍTULO 5

1.º Caso. J não é limitado nem superiormente nem inferiormente.

Para todo m real, existem x e x em I com f(x ) < m < f(x ). 1 2 1 2

Tendo em vista a continuidade de f, pelo teorema do valor

intermediário existe c entre x e x com f(c) = m. Segue que J = 1 2 ℝ = ]– ∞, + ∞[.

2.º Caso. J é limitado superiormente, mas não inferiormente. Seja M = sup J. Seja m um real qualquer em ]– ∞, M[. Existem x , x em I, com f(x ) < m < f(x ) (por quê?). 1 2 1 2

Pelo teorema do valor intermediário existe c entre x e x tal 1 2

que f(c) = m. Segue que ]– ∞, M[ ⊂ J. Por outro lado, para todo x em I, f(x) ≤ M. Logo, se, M não for máximo de J, J = ]–∞, M[; se M for máximo de J, J = ]– ∞, M].

Analise os demais casos.

11. Se f(0) = 0 ou f(1) = 1 nada há o que provar. Suponha que

nenhuma das situações anteriores ocorra; aplique o teorema do anulamento a g(x) = f(x) – x

12. Suponha, por absurdo, que existam u, v em [a, b], com u < v, e

tais que f(u) > f(v). Se f(a) < f(v), pelo teorema do valor intermediário, existe c em ]a, u[, tal que f(c) = f(v), contradição. Se f(v) < f(a) < f(u) …

 

CAPÍTULO 6

6.3 2 e 1. a )

b) e

c)

d 2 ) e

e) e

f) 1

g 2 ) e

h 2 ) e

2. h eh ln a Sugestão : a =

3. a) 2

b) 0

c) ln 5

d) + ∞

 

CAPÍTULO 7

7.4 y = x + 1 1.

2. y = x – 1

CAPÍTULO 8

CAPÍTULO 9

2. [–2, –1]

3. Cada um dos intervalos [–3, –2], [0, 1] e [1, 2] contém uma raiz.

4. a < –27 ou a > 5

5. a) + ∞

b) 0

c) + ∞

d) 0

e) 0

f) + ∞

CAPÍTULO 10

CAPÍTULO 11

CAPÍTULO 12

CAPÍTULO 13

CAPÍTULO 14

 

14.2 a), b), c), f) 1.

3. a) x(t) = 1 ou x(t) = –1

b) x(t) = 0

c) y(x) = –1

d) Não há

e) x(t) = 1

f) x(t) = 0, t > 0

14.3 1. x(t) = 0

2. x(t) = 0 ou x(t) = 1

3. Não há

4. Não há

5. Não há

6. x(t) = 1 ou x(t) = –1

CAPÍTULO 15

CAPÍTULO 16

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