4.2 Limites Infinitos

a. Suponha que L > 0. Prove que existe r > 0, r > a, tal que

para todo x > r

 

Conclua daí que se então

 

4.2 Limites Infinitos

 

Definição 1. Suponhamos que exista a tal que ]a, +∞[, ⊂ D f . De nimos

 

Definição 2. Sejam f uma função, p um número real e suponhamos que exista b tal que ]p, b[, ⊂

D . De nimos f

Exemplo 1

Calcule e justifique.

Solução

 

Justificação

Dado ε > 0 e tomando-se

Logo,

 

Exemplo 2

Calcule e justifique.

Solução

Dado ε > 0 e tomando-se δ = ε

x > δ ⇒ x > ε.

Logo,

Teorema

 

Demonstração

Para as demonstrações de (a) e (b), veja os Exemplos 13 e 14. As demonstrações dos demais itens ficam a cargo do leitor.

■

Observamos que o teorema anterior continua válido se substituirmos “x →

+∞” por “ + – x → –∞” ou por “ x → p ” ou por “ x → p ” ou por “x → p”.

 

Observação. O teorema anterior sugere-nos como operar com os símbolos +∞ e –∞: +∞ +

(+∞) = +∞, –∞ + (–∞) = –∞, L · (+∞) = +∞ se L > 0, L · (+∞) = –∞ se L < 0, L · (–∞) = –

∞ se L > 0, L · (–∞) = +∞ se L < 0, L + (+∞) = +∞ se L ∊ ℝ, L + (–∞) = –∞ se L P ℝ, +∞ ·

(+∞) = +∞, (–∞) · (–∞) = +∞ e +∞ · (–∞) = –∞.

 

Indeterminações

 

Exemplo 3

Calcule

Solução

 

Exemplo 4

Calcule

Solução

Exemplo 5

Calcule

Solução

 

O próximo exemplo conta-nos que, se + f ( x ) tende a zero para x → p e se f(x) > 0, então + tende a +∞ para x → p .

 

Exemplo 6

Suponha que e que existe r > 0 tal que f(x) > 0 para p < x < p +

r. Prove que

 

Solução

Pela hipótese, dado ε > 0, existe δ > 0, com δ < r, tal que

Exemplo 7

Calcule

Solução

x – 1 > 0 para x > 1 e logo

 

Interprete graficamente.

 

Exemplo 8

Calcule

Solução

x – 1 < 0 para x < 1 e logo

Interprete graficamente.

 

Exemplo 9

Sejam f e g duas funções tais que e

que existe r > 0 tal que g(x) ≠ 0 para p < x < p + r. Prove que, nestas

condições, ou não

existe.

Solução

Basta provar que não pode ser finito. Se tal limite fosse finito,

teríamos

 

que é uma contradição.

 

Exemplo 10

Calcule

Solução

 

Pelo exemplo anterior, o limite proposto ou é +∞, ou –∞ ou não existe.

Vejamos o que realmente acontece. Inicialmente, vamos separar o fator

que é responsável pelo anulamento do denominador.

 

Exemplo 11

Calcule

Solução

Como 1 é raiz do numerador e denominador vamos, primeiro,

simplificar.

 

Exemplo 12

Calcule

Solução

Exemplo 13

 

Suponha que Prove

 

Solução

 

a) Segue da hipótese que dado ε > 0 existem δ > 0 e δ > 0, tais que 1 2

 

e

 

Tomando-se δ = máx{δ , δ } 1 2

 

Logo,

b) Segue da hipótese que, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

 

daí

x > δ ⇒ f(x)g(x) > ε,

ou seja,

 

Exemplo 14

Suponha que L real, e Prove

 

Solução

 

a) Segue da hipótese que, dado ε > 0, existem δ > 0 e δ > 0 tais que 1 2

 

Tomando-se δ = máx{δ , δ } 1 2

x > δ ⇒ f(x)g(x) > ε.

Pelo item a), Então, dado ε

b)

> 0, existe δ > 0 tal que

x > δ ⇒ –f(x)g(x) > ε.

Logo,

x > δ ⇒ f(x)g(x) < –ε.

 

Exercícios 4.2

 

1. Calcule.

2. Prove que no qual n > 0 é um natural.

 

3. Calcule.

4. Calcule.