Um Curso de Cálculo, Volume 1
A.3 Demonstração da Propriedade dos Intervalos Encaixantes
O próximo exemplo exibe-nos duas consequências importantes da
propriedade de Arquimedes.
Exemplo
a) Para todo x > 0, existe pelo menos um natural n tal que < x.
b) Para todo real x existe pelo menos um natural n tal que n > x.
Solução
a) Como x > 0, por Arquimedes, existe um natural n tal que nx > 1 e,
portanto, < x.
(Observe: nx > 1 ⇒ n ≠ 0).
b) Como 1 > 0, por Arquimedes, existe um natural n tal que n > x.
A propriedade que apresentaremos na próxima seção é uma outra
consequência importante da propriedade do supremo e será utilizada várias vezes no texto.
Exercícios A.2
Prove que se A for não vazio e limitado inferiormente, então A admite
ínfimo.
A.3 Demonstração da Propriedade dos Intervalos
Encaixantes
Seja [a , b ], [a , b ], [a , b ], …, [a , b ], … uma sequência de 0 0 1 1 2 2 n n intervalos satisfazendo as condições:
(i) [a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ … ⊃ [a , b ] ⊃ … 0 0 1 1 2 2 n n
(ou seja, cada intervalo da sequência contém o seguinte);
(ii) para todo r > 0, existe um natural n tal que
b − a < r n n
(ou seja, à medida que n cresce, o comprimento do intervalo [a , b ] n n
vai tendendo a zero).
Nestas condições, existe um único real a que pertence a todos os
intervalos da sequência, isto é, existe um único real α tal que, para todo natural n, a ≤ a ≤ b . n n
Demonstração
A = {a , a , a , …, a , …} é não vazio e limitado superiormente, pois 0 1 2 n
todo b é cota superior de A. Assim, A admite supremo; seja α tal supremo. n
Como α é a menor cota superior de A, para todo natural n temos
a ≤ α ≤ b . n n
Se β for outro real tal que, para todo n,
a ≤ β ≤ b n n
teremos, para todo n,
|α − β| ≤ b − a n n