Um Curso de Cálculo, Volume 1
F.3 Adição em ℝ
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Teorema 1. Se α e β são números reais, então
também é número real.
Demonstração
Precisamos provar que γ satisfaz as condições (R1), (R2) e (R3).
(R1) Como α e β não são vazios, existem a ∈ α, b ∈ β; assim a + b ∈ γ,
logo, γ ≠ ϕ.
Por outro lado, como α ≠ ℚ e β ≠ ℚ, existem racionais s e t, com s ∉ α e t
∉ β; pelo lema da seção anterior, tem-se:
∀ a ∈ α, a < s e ∀ b ∈ β, b < t
daí
∀ a ∈ α, ∀ b ∈ β, a + b < s + t.
Logo, s + t ∉ γ e, portanto, γ ∉ ℚ.
(R2) Precisamos provar que, se x ∈ γ e y < x, então y ∈ γ. Para provar que y
∈ γ, precisamos fabricar um s ∈ α e um t ∈ β, de modo que y = s + t.
Temos:
x ∈ γ ⇔ x = a + b para algum a ∈ α e algum b ∈ β.
De y < x segue y < a + b, daí y − a < b; como b ∈ β, segue que y − a ∈ β.
Então,
y = a + (y − a), com a ∈ α e (y − a) ∈ β.
Logo, y ∈ γ.
(R3) Para provar que γ não tem máximo, precisamos provar que, se x ∈ γ, então existe y ∈ γ com x < y. Temos:
x ∈ γ ⇔ x = a + b para algum a ∈ α e algum b ∈ β.
Como α e β não têm máximo, existem racionais s ∈ α e t ∈ β com a < s e
b < t; daí, a + b < s + t. Tomando-se y = s + t, tem-se x < y, com y ∈ γ. Assim, γ não tem máximo.
Como (R1), (R2) e (R3) estão verificadas, segue que γ ∈ ℝ.
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Definição. Sejam α e β dois números reais; o número real γ = {a + b | a ∈ α, b ∈ β} denomina-
se soma de α e β e é indicado por α + β. Assim, α + β = {a + b | a ∈ α, b ∈ β}.
A operação que a cada par (α, β) de números reais associa a sua soma α + β
denomina-se adição e é indicada por +.
Exemplo
Sejam r e s dois racionais; prove:
r* + s* = (r + s)*.
Solução
Precisamos provar que r* + s* ⊂ (r + s)* e que r* + s* ⊃ (r + s)*.
Lembramos, inicialmente, que
r* = {x ∈ ℚ| x < r }; s* = {x ∈ ℚ| x < s}
e
x ∈ r* + s* ⇔ x = a + b para algum a < r e algum b < s, com a e b
racionais.
Provamos, assim, que
x ∈ r * + s* ⇒ x ∈ (r + s)*;
logo, r* + s* ⊂ (r + s)*.
Tomemos um racional u, com x − r < u < s.
u < s ⇒ u ∈ s*
x − r < u ⇒ x − u < r ⇒ x − u ∈ r*.
Segue que