17 Arquimedes, Pascal, Fermat e o Cálculo de Áreas

17.1 Quadratura da Parábola: Método de Arquimedes

Um dos criadores do Cálculo Diferencial e Integral foi o grande matemático grego Arquimedes, que viveu no século 3 a.C. em Siracusa. Uma de suas inúmeras descobertas foi a fórmula para o cálculo da área de um segmento de parábola. Nosso objetivo aqui é obter tal fórmula seguindo o raciocínio rigoroso de Arquimedes. Vamos então considerar o segmento de parábola limitado pela parábola 2 y = x e pela corda AB.

Lembrando que em um trapézio o segmento que liga os pontos médios

dos lados não paralelos é a semissoma das bases, resulta que a ordenada de M é .

Pela figura,

 

Ou seja,

 

(OK?)

A altura do triângulo AMN em relação à base MN é m. Também, a altura do triângulo BMN em relação à base MN é m. Como

MN 2 = m

e

altura em relação à base MN = m

segue-se que a soma das áreas dos triângulos AMN e BMN é:

 

Portanto, a área do triângulo 3 ANB é m . Vamos destacar este resultado

 

Vamos então ao cálculo da área do segmento parabólico. A seguir,

suporemos A coincidindo com a origem do sistema de coordenadas.

 

Na figura, o valor de 3 m é b /2. Assim, a área T do triângulo ANB é ( b /2) =

b 3 /8.

A área do triângulo ANB é uma primeira aproximação para a área do

segmento parabólico ANB. Vamos melhorar esta aproximação. Vamos somar a esta área as áreas dos triângulos AN N e NN B (veja a figura a 1 2 seguir).

 

Observe que a soma das áreas dos triângulos AN N e NN B é 1 2

exatamente um quarto da área T do triângulo ANB.

 

Assim,

 

é uma segunda aproximação, e melhor, para o nosso segmento parabólico.

Dividindo, agora, o intervalo [0, b] em 8 partes iguais e somando-se as

áreas dos novos triângulos obtidos, verifica-se que a soma dessas novas áreas é 3 b /128, que é exatamente um quarto da área anteriormente acrescentada, que era de 3 b /32.

 

Assim,

 

é uma terceira aproximação, e melhor, para o nosso segmento parabólico.

 

Continuando o raciocínio acima, é razoável esperar que a fórmula para

o cálculo de tal área seja:

Então, para chegar à fórmula para a área do segmento parabólico, é só

calcular a soma da progressão geométrica infinita de primeiro termo 1 e razão que sabemos ser . (De acordo?) Só que Arquimedes não

trabalhava com limites infinitos. Para chegar à fórmula

 

Arquimedes primeiramente utilizou o seu MÉTODO de descoberta: verificou “por meio de uma balança” que o peso do segmento de parábola era exatamente quatro terços do triângulo ANB (veja referência

bibliográfica 1 no final do capítulo). Em seguida, admitiu que o valor da área era T e, por uma dupla redução ao absurdo, provou a sua veracidade.

É o que faremos a seguir. Temos

 

Continuando o raciocínio acima, obtém-se

 

Somando 3 aos dois membros, em seguida dividindo por 3 e por último multiplicando os dois membros por T, resulta

O objetivo é então provar que a área do segmento parabólico ANB é T. A

prova será feita em duas etapas: na primeira, prova-se que a área do segmento parabólico não pode ser menor que T, e na segunda, que a área

do segmento parabólico não pode ser maior que T. Indicando por S a área

do segmento parabólico, será provado então que S = T.

Para a prova da primeira etapa, Arquimedes utilizou o seguinte

postulado: “A diferença pela qual a maior de duas áreas excede a menor pode, sendo somada a si mesma repetidas vezes, exceder qualquer área finita dada”, cujo enunciado moderno é: “Dados os números reais x e y, com x > 0, existe um natural m tal que mx > y”, que nada mais é do que a nossa conhecida propriedade de Arquimedes.

Para a prova da segunda etapa, Arquimedes utilizou as duas seguintes

propriedades:

I. “Dadas duas grandezas distintas, se da maior subtrai-se mais que sua metade, do restante mais

que sua metade, e assim por diante, acabará restando uma grandeza menor que a menor das grandezas dadas.”

II. 2 “ A reta tangente à parábola y = x no ponto de abscissa a + m é paralela à corda de

extremidades 2 2 ( a , a ) e ( a + 2m , ( a + 2m ) ).” (Veri que.)

Observe que a área do triângulo XYZ é maior que a metade do segmento parabólico XYZ. (Você concorda?)

Prova da Primeira Etapa.

Suponhamos por absurdo que . Assim, . Pela

propriedade de Arquimedes, existe um natural n tal que

 

e, portanto,

 

Daí,

 

Ou seja,