Um Curso de Cálculo, Volume 1
1.5 Propriedade dos Intervalos Encaixantes e Propriedade de Arquimedes
2. Determine r > 0 de modo que ]4 – r, 4 + r[ ⊂ ]2, 5[.
(Lembre-se: A ⊂ B ⇔ A é subconjunto de B.)
3. Sejam a < b dois reais e p ∊ ]a, b[. Determine r > 0 de modo que ]p –
r, p + r[ ⊂ ]a, b[.
4. Expresse o conjunto das soluções das inequações dadas em notação de
intervalo.
a 2 ) x – 3x + 2 < 0
c 2 ) x + x + 1 > 0
d 2 ) x – 9 ≤ 0
1.5 Propriedade dos Intervalos Encaixantes e
Propriedade de Arquimedes
A seguir destacaremos duas propriedades fundamentais dos números reais e cujas demonstrações serão apresentadas no Apêndice A.
Propriedade dos Intervalos Encaixantes. Seja [ a , b ], [a , b ], [a , b ], …, [a , 0 0 1 1 2 2 n
b ], … uma sequência de intervalos satisfazendo as condições: n
(i) [a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ … ⊃ [a , b ] ⊃ … 0 0 1 1 2 2 n n
(ou seja, cada intervalo da sequência contém o seguinte);
(ii) para todo r > 0, existe um natural n tal que
b – a < r n n
(ou seja, à medida que n cresce o comprimento do intervalo [a , b ] vai tendendo a zero). n n
Nestas condições, existe um único real α que pertence a todos os intervalos da
sequência, isto é, existe um único real α tal que, para todo natural n, a ≤ α ≤ b . n n
Propriedade de Arquimedes. Se x > 0 e y são dois reais quaisquer, então existe pelo
menos um número natural n tal que
nx > y.
Exemplo
a) Para todo x > 0, existe pelo menos um natural n tal que
b) Para todo real x existe pelo menos um natural n tal que n > x.
Solução
a) Como x > 0, por Arquimedes, existe um natural n tal que nx > 1 e,
portanto,
(Observe: nx > + ⇒ n ≠ 0.)