Um Curso de Cálculo, Volume 1
3.8 O Limite Fundamental
|sen x – sen p | ≤ | x – p |
para | x – p | < 2r. Como segue, do teorema do confronto, que
ou seja,
Logo, sen x é contínua em p. Como p foi tomado de modo arbitrário, resulta que sen x é contínua em todo p real, isto é, sen x é uma função contínua. Fica a seu cargo a demonstração da continuidade da função cos.
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Deixamos a seu cargo provar, como exercício, que as funções tg, sec, cotg e
cosec são, também, contínuas.
3.8 O Limite Fundamental
Pela propriedade (5) da Seção 2.2 (veja justificação geométrica ao final da seção) existe r > 0 tal que
0 < sen x < x < tg x
para 0 < x < r. Dividindo por sen x
e, portanto, para 0 < x < r,
Por outro lado,
Como
Assim, para todo x, com 0 < | x | < r,
Como pelo teorema do confronto,
Observe que, para módulo de x suficientemente pequeno, ou
Interprete geometricamente.
Exemplo 1
Calcule
Solução
ou seja,
Exemplo 2
Calcule
Solução
Justificação geométrica da propriedade (5) da Seção 2.2:
Por uma regra de três simples calculamos a área a do setor circular OAP: 2π rad – área π
x rad – área α
Portanto, área do setor circular
Assim, para (x é a medida em rad do arco AP),
ou
sen x < x < tg x.
Exercícios 3.8
1. Calcule.