Um Curso de Cálculo, Volume 1
F.7 Teorema do Supremo
Segue que existem a, a' ∈ α, com a > 0 e a' > 0, b ∈ β, com b > 0, c ∈ γ,
com c > 0, tais que x = ab + a' c.
Supondo a' ≤ a, resulta
x = ab + a' c ≤ ab + ac = a (b + c) ∈ α (β + γ);
logo, pela (R2), x ∈ α (β + γ). Fica provado que
αβ + αγ ⊂ α (β + γ).
2 o Caso: α > 0* e β + γ > 0*.
Suponhamos β > 0*. Temos:
αγ o = α [( β + γ ) + (− β )] = α ( β + γ ) + α (− β ) (1 caso);
daí
α (β + γ) = αβ + αγ.
3 o Caso: α > 0* e β + γ < 0*.
α (β + γ) = −[α (−β − γ)] = −[α (−β) + α (−γ)]
ou seja,
α (β + γ) = αβ + αγ.
Deixamos a seu cargo verificar os demais casos.
(OM) Deixamos a seu cargo.
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F.7 Teorema do Supremo
Um subconjunto A de ℝ se diz limitado superiormente se existe um número real m tal que, para todo α ∈ A, α ≤ m.
Para demonstrar o teorema do supremo, vamos precisar do seguinte
Lema. Seja A um subconjunto de ℝ, não vazio e limitado superiormente. Então,
é um número real. (γ é a reunião de todos a pertencentes a A.)
Demonstração
(R1) Sendo A ≠ ϕ, existe α ∈ A e, como α ≠ ϕ, resulta γ ≠ ϕ.
Sendo A limitado superiormente, existe um número real m tal que α ≤ m,
para todo α ∈ A. Como m é número real, existe x racional, com x ∉ m; daí para todo α ∈ A, x ∉ α, logo, x ∉ γ e, portanto, γ ≠ ℚ. (R2) Sejam p e q dois racionais quaisquer, com p ∈ γ e q < p. Temos:
p ∈ γ ⇒ p ∈ α para algum α ∈ A p∈ α e q < p ⇒ q ∈ α q ∈ α ⇒ q ∈ γ.
(R3) p ∈ γ ⇒ p ∈ α para algum α ∈ A. Como a não tem máximo, existe ∈ α, com > p. ∈ α ⇒ ∈ γ. Assim, para todo p ∈ γ, existe ∈ γ, com p <
. Portanto, γ não tem máximo.
Como (R1), (R2) e (R3) estão verificadas, segue que γ é um número real.
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