Um Curso de Cálculo, Volume 1
D.5 Integrabilidade das Funções Crescentes ou Decrescentes
Observação. Do mesmo modo, prova-se que, se f for limitada em [a, b] e contínua em ]a, b],
então f será integrável em [a, b].
Deixamos a seu cargo a demonstração da propriedade: se f for
integrável em [a, c] e em [c, b], então f será integrável em [a, b] e
Como consequência do teorema anterior e da propriedade acima, vem o
seguinte corolário, cuja demonstração é deixada para o leitor.
Corolário. Se f for limitada em [a, b] e descontínua em apenas um número nito de pontos,
então f será integrável em [a, b].
D.5 Integrabilidade das Funções Crescentes ou
Decrescentes
Se f for crescente em [a, b], f assumirá em [a, b] valor máximo f(b) e valor mínimo f(a). Seja P uma partição qualquer de [a, b]; podemos, então, considerar as somas superior e inferior de f relativa à partição P:
e
As propriedades demonstradas no caso de f se contínuas permanecem
válidas no caso de f ser crescente. Temos
e, portanto,
Se f(b) = f(a), f será constante, logo integrável. Podemos supor, então,
f(b) > f(a). Então, dado ε > 0 e tomando-se para toda
partição P de [a, b], com máx Δx < δ, i
e, portanto,
em que L é o ínfimo das somas superiores (f, P) Fica provado assim o
Teorema. Se f for crescente em [a, b], então f será integrável em [a, b].
Observação. Se f for decrescente em [a, b], então −f será crescente e, portanto, integrável;
como f = − (−f), segue que f será, também, integrável em [a, b].