Um Curso de Cálculo, Volume 1
Apêndice F Construção do Corpo Ordenado dos Números Reais
F.1 Definição de Número Real
Definição. Seja a um subconjunto de ℚ. Dizemos que a é um número real se satisfaz as
condições:
(R1) α ≠ ϕ e α ≠ ℚ.
(R2) ∀p, q ∈ ℚ, se p ∈ α e q < p; então q ∈ α.
(R3) α não tem máximo.
A ideia que está por trás de tal definição é a de caracterizar um número
real pelo conjunto de todos os números racionais que o precedem. Pela definição acima, estamos representando um número real α pelo conjunto dos racionais que o precedem.
Exemplo 1
α = { p ∈ ℚ| p < 2} é um número real. De fato:
(R1) α ≠ ϕ, pois, 0 ∈ α.
α ≠ ℚ, pois, 5 ∈ ℚ e 5 ∉ α.
(R2) Sejam p, q racionais quaisquer, com p ∈ α e q < p. Temos:
p ∈ α ⇔ p < 2.
De p < 2 e q < p, segue q < 2, logo, q ∈ α.
(R3) α não tem máximo (verifique).
Assim, o conjunto α = { p ∈ ℚ| p < 2} satisfaz as condições (R1),
(R2) e (R3); logo, é número real.
Seja r um número racional qualquer. Deixamos a seu cargo a tarefa
de verificar que o conjunto { p ∈ ℚ| p < r} é um número real. Tal
número real será indicado por r*:
r* = { p ∈ ℚ| p < r} (r racional).
Exemplo 2
α 2 = ℚ _ ∪ { p ∈ ℚ | p < 2} é um número real (quem é α?).
+
De fato:
(R1) α ≠ ϕ, pois, ℚ_ ⊂ α (ℚ_ = {x ∈ ℚ|x ≤ 0})
α ≠ ℚ, pois, 5 ∈ ℚ e 5 ∉ α.
(R2) Sejam p, q dois racionais quaisquer, com p ∈ α e q < p. Temos:
(i) se p ∈ ℚ_, então q ∈ ℚ_, logo, q ∈ α. (ii) se p > 0 e q ≤ 0, então q ∈ α. (iii) se p > 0 e q > 0
De 2 2 p < 2, segue q < 2, logo, q ∈ α.
(R3) Seja p ∈ α, com p > 0. Temos, para todo n ∈ ℕ*,
ou
Por outro lado,
Tomando-se, então, resulta
o que mostra que α não tem máximo.
Exercícios
1. É número real? Justifique a resposta.
2. Seja α um número real e indique por M o conjunto dos racionais que são α
cotas superiores de α. Prove que
é número real.
3. Sejam α e β números reais. Prove que α ∪ β e α ∩ β são, também,
números reais.
4. 3 Sejam os números reais α = { p ∈ ℚ | p < 5} e β = { p ∈ ℚ| p < 2}.
Determine α ∩ β e α ∪ β.
5. Para cada n ∈ N, seja o número real Complete:
a) α = … 0