Um Curso de Cálculo, Volume 1
14.2 Equações Diferenciais de 1ª Ordem de Variáveis Separáveis
A função x = cos t é também solução (verifique). Veremos
posteriormente que as funções que a satisfazem são da forma x = A
cos t + B sen t, com A e B constantes.
Exemplo 3
Determine uma função y = f(x) que satisfaça a propriedade: o
coeficiente angular da reta tangente no ponto de abscissa x é igual ao
produto das coordenadas do ponto de tangência.
Solução
Se f é uma tal função, para todo x no seu domínio
f′(x) = x f(x).
Assim, a função y = f(x) procurada é solução da equação diferencial
de 1 a ordem
Veremos mais adiante como determinar as funções que satisfazem
tal equação.
14.2 a Equações Diferenciais de 1 Ordem de Variáveis
Separáveis
Por uma a equação diferencial de 1 ordem de variáveis separáveis entendemos uma equação da forma
em que g e h são funções definidas em intervalos abertos I e I , 1 2 respectivamente.
Uma solução de ① é uma função x = x (t) definida num intervalo aberto
I, I ⊂ I , tal que, para todo t em I, 1
x′(t) = g (t) h (x (t)).
Exemplo 1
é uma equação diferencial de 1 a ordem de variáveis
separáveis. Aqui 2 g ( t ) = t e h ( x ) = x .
Exemplo 2
é uma equação diferencial de 1 a ordem, mas não de
variáveis separáveis.
Exemplo 3
Verifique que , −1 < t < 1, é solução da equação
.
Solução
Precisamos mostrar que, para todo t em ]−1, 1[,
x 2 ′( t ) = t [ x ( t )] .
Temos
e
Logo, para todo t em ]−1, 1[,
x 2 ′( t ) = t [ x ( t )]
ou seja, , −1 < t < 1, é solução da equação.
Na equação ①, x está sendo olhado como variável dependente e t como
variável independente. A equação ① pode também ser escrita na forma
em que, agora, y é a variável dependente e x, a independente.
Exercícios 14.2
1. Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Verifique que a função dada é solução da equação dada.
a)
b)
c)
d)
e)