14.6 Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem

11. Determine uma curva que passa pelo ponto (0, 2) e que goza da

propriedade: a reta tangente no ponto (x, y) encontra o eixo x no ponto A, de abscissa > 0, de tal modo que a distância de (x, y) a A é sempre 2.

 

12. Verifique que a mudança de variável transforma a equação

na de variáveis separáveis . Determine,

então, soluções (na forma implícita) da equação .

 

13. Determine soluções da equação . (Sugestão: Olhe para o

Exercício 12.)

 

14. Verifique que a mudança de variável u = y − x transforma a equação

na de variáveis separáveis . Determine,

então, soluções da primeira equação.

 

14.6 a Equações Diferenciais Lineares de 1 Ordem

Por uma a equação diferencial linear de 1 ordem entendemos uma equação do tipo

 

em que g e f são funções dadas, contínuas e definidas num mesmo intervalo I.

Exemplo 1

= a xt + 1 é linear de 1 ordem; aqui g (t) = t e f(t) = 1.

 

Exemplo 2

= 2 a xt é linear de 1 ordem (é também de variáveis separáveis);

aqui 2 g ( t ) = t  e f(t) = 0.

 

Exemplo 3

= 5 2 x + sen t não é linear (também não é de variáveis

separáveis).

Observe que na equação linear, tanto a variável dependente como

sua derivada ocorrem com grau 1.

Se f(t) = 0 em I, a equação ① é de variáveis separáveis e a solução

geral será

 

em que G é uma primitiva de g em I. Por simplicidade, escreveremos

 

em que estará representando, então, uma particular primitiva

de g.

Exemplo 4

Resolva a equação 2 = xt .

Solução

Trata-se de uma equação de 1 a ordem, linear e de variáveis

separáveis. A solução geral é

 

ou

 

Vamos, agora, resolver ① no caso em que f(t) não é identicamente

nula em I. Observamos, inicialmente, que

 

Isto é,

 

A igualdade acima nos indica um caminho para obtermos a

solução geral de ① no caso em que f(t) não é identicamente nula em I.

Temos que ① é equivalente a

Multiplicando os dois membros pelo fator integrante ,

 

obtemos

 

ou

 

Daí

 

ou

 

que é a família das soluções da equação ①.

 

Na fórmula acima, e indicam

particulares primitivas de g (t) e , respectivamente.

 

Exemplo 5

Resolva a equação = 3x + 4.

Solução

Aqui g (t) = 3 e f(t) = 4. O fator integrante é . Então

 

ou

 

É claro que você poderia ter aplicado diretamente a fórmula obtida

anteriormente.

 

Exercícios 14.6

 

1. Resolva.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

 

2. Suponha E, R e C constantes não nulas. Resolva a equação.

a)

b)

 

3. Suponha E, R e L constantes não nulas. Determine a solução i = i (t) do

problema

4. Um objeto aquecido a 100 °C é colocado em um quarto a uma

 

temperatura ambiente de 20 °C; um minuto após a temperatura do objeto passa a 90 °C. Admitindo (lei de resfriamento de Newton) que a temperatura T = T (t) do objeto esteja variando a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do quarto, isto é,

 

determine a temperatura do objeto no instante t. (Suponha t dado em minutos.)

 

5. Um investidor aplica seu dinheiro em uma instituição financeira que

remunera o capital investido de acordo com a equação = 0,08 C.

a) Supondo que o capital investido no instante t = 0 seja C , 0

determine o valor do capital aplicado no instante t.

b) Qual o rendimento mensal que o investidor está auferindo?

(Suponha t dado em meses.)

6. Um capital C = C (t) está crescendo a uma taxa proporcional a C.

Sabe-se que o valor do capital no instante t = 0 era de R$ 20.000 e 1 ano após, R$ 60.000. Determine o valor do capital no instante t. (Suponha t dado em anos.)

 

7. Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional a m,

em que m = m (t) é a quantidade de matéria no instante t. Supondo que a quantidade inicial (em t = 0) de matéria seja m e que 10 anos após 0 já tenha se desintegrado da quantidade inicial, pede-se o tempo necessário para que metade da quantidade inicial se desintegre.

 

8. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com aceleração proporcional à

velocidade. Admitindo- se que υ(0) = 3, υ (1) = 2 e x (0) = 0, determine a posição da partícula no instante t.

 

9. Determine a função y = f(x), x > 0, cujo gráfico passa pelo ponto (1, 2)

e que goza da propriedade: a área do triângulo de vértices (0, 0), (x, y) e (0, m), m > 0 é igual a 1, para todo (x, y) no gráfico de f, em que (0, m) é a interseção da reta tangente em (x, y) com o eixo y.

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