Um Curso de Cálculo, Volume 1
Apêndice C Demonstrações do Teorema da Seção 6.1 e da Propriedade (7) da Seção 2.2
C.1 Demonstração do Teorema da Seção 6.1
Lema 1. Seja a > 1 um real dado. Então, para todo ε > 0, existe um natural n tal que
Demonstração
Pelo binômio de Newton (veja Seção 17.2), para todo natural n ≥ 1
(1 + n ε ) ≥ 1 + nε.
Tomando-se n tal que 1 + nε > a resulta
(1 + n ε ) > a
ou
e, portanto,
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Lema 2. Sejam a > 1 e x dois reais dados. Então, para todo ε > 0, existem racionais r e s,
com r < x < s, tais que
a s r − a < ε.
Demonstração
Inicialmente, tomemos um t > x, t racional; assim, para todo racional r < x, a r t < a , pois estamos supondo a > 1. Temos
a s r r s − r − a = a ( a − 1).
Pelo lema 1, existe um natural n tal que
ou
Escolhamos, agora, racionais r e s, r < x < s, tais que Para
estes racionais
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Lema 3. Seja a > 1 um real dado. Então, para todo x real dado, existe um único real γ tal que
a r s < γ < a
quaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s.
Demonstração
Primeiro vamos provar que existe tal r γ . O conjunto { a | r racional, r < x} é não vazio e limitado superiormente por todo s a , s racional e s > x; tal conjunto admite, então, supremo que indicaremos por γ. Segue que
a r s ≤ γ ≤ a
para todo racional r < x e todo racional s > x.
Fica a seu cargo verificar que em realidade temos
a r s < γ < a quaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s.
Vamos, agora, provar que tal r s γ é único. Se γ for tal que a < γ < a ,
1 1
quaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s, teremos
| s r γ − γ | < a − a
1
para todo racional r < x e todo racional s > x. Segue, então, do lema 2 que
|γ − γ | < ε 1
para todo ε > 0, logo γ = γ . 1
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Com relação ao lema anterior, observe que, se x for racional, então γ =
a x . O único γ (a que se refere o lema anterior) será indicado por f(x). Fica construída, assim, uma função r f , definida em ℝ , e tal que f ( r ) = a para todo racional r. Antes de provar a continuidade de f, provaremos que f é estritamente crescente. De fato, se x < x (x e x reais quaisquer), 1 2 1 2 teremos
quaisquer que sejam os racionais r , s , r e s tais que r < x < s e 1 1 2 2 1 1 1 r < x < s . Sendo s um racional, x < s < x , teremos 2 2 2 1 2
f s ( x ) < a < f(x )
1 2
o que prova que f é estritamente crescente.
Vamos provar, agora, a continuidade de f. Seja p um real qualquer. Pelo
lema 2, dado ε > 0, existem racionais r e s, com r < p < s, tais que