14.5 Método Prático para Determinar as Soluções Não Constantes

Como h (x) ≠ 0 em J e pelo fato de h ser contínua, segue que

 

mantém o mesmo sinal em J, logo, H é estritamente crescente ou estritamente decrescente em J e, portanto, inversível. Sendo ℋ a função inversa de H em J, resulta de ⑤ que

x (t) = ℋ (G (t) + k), t ∈ I.

Por outro lado, deixamos a seu cargo verificar que toda função do tipo

x (t) = ℋ (G (t) + k)

é solução de ① , em que ℋ é a inversa de uma primitiva de num

intervalo em que h (x) ≠ 0, G (t) uma primitiva de g (t) num intervalo I ⊂ I e k uma constante. 1

 

14.5 Método Prático para Determinar as Soluções Não

Constantes

Seja a equação

 

com g e h nas condições do teorema da seção anterior. O quadro que apresentamos a seguir fornece-nos um roteiro prático para determinar as soluções não constantes de ①.

Exemplo 1

Resolva a equação

 

Solução

Inicialmente, vamos determinar as soluções constantes.

h 2 2 ( x ) = x ; x = 0 ⇔ x = 0.

Assim, x (t) = 0 é a única solução constante.

Vamos, agora, determinar as soluções não constantes.

Como g (t) = t e h′(x) = 2x são contínuas resulta

 

é a família das soluções da equação.

Exemplo 2

Com relação à equação do exemplo anterior, determine a solução que

satisfaça a condição inicial dada.

a) x (1) = 0

b) x (0) = 1

c) x (0) = −1

Solução

a) A solução constante x (t) = 0 satisfaz a condição inicial x (1) = 0.

b) x (t) = e x (0) = 1.

Assim,

Segue que

 

 

satisfaz a condição inicial dada. (Lembre-se: o domínio de uma

solução é sempre um intervalo; no caso em questão, tomamos

, pois o domínio deve conter t = 0.)

c) x (t) = e x (0) = −1.

 

Segue que

 

satisfaz a condição inicial dada.

 

Exemplo 3

Resolva .

Solução

x (t) = 0 é a única solução constante.

Determinemos, agora, as soluções não constantes.

 

daí

 

ou

 

Se x > 0, x = k e se x < 0, x = − k , segue que x = k , k 2 2

≠ 0 real qualquer. Para k = 0, temos a solução constante x (t) = 0.

Assim

 

é a família das soluções da equação.

 

Exemplo 4

Determine a função y = f(x) tal que f(1) = 1 e que goza da

propriedade: o coeficiente angular da reta tangente no ponto de

abscissa x é igual ao produto das coordenadas do ponto de tangência.

Solução

Para todo x no domínio de f devemos ter

f′(x) = x f(x).

Assim, a função procurada é solução da equação

 

Temos

 

Para , a condição y = 1 para x = 1 estará satisfeita.

Assim, a função procurada é

 

Exemplo 5

Determine o tempo necessário para se esvaziar um tanque cilíndrico

de raio 2 m e altura 5 m, cheio de água, admitindo que a água se

escoe através de um orifício, situado na base do tanque, de raio 0,1 m,

com uma velocidade υ = m/s, sendo h a altura da água no

tanque e 2 g = 10 m/s a aceleração gravitacional.

Solução

Seja h = h (t) a altura da água no instante t. O volume V = V (t) de

água no tanque no instante t será

V (t) = 4π h (t)

e assim

 

Por outro lado, supondo Δt suficientemente pequeno, o volume de

água que passa pelo orifício entre os instantes t e t + Δt é

aproximadamente igual ao volume de um cilindro de base π 2 r (r raio

do orifício) e altura υ(t)Δt (observe que a água que no instante t está

saindo pelo orifício, no instante t + Δt se encontrará,

aproximadamente, a uma distância υ(t)Δt do orifício, em que υ(t) é a

velocidade, no instante t, com que a água está deixando o tanque).

Então, na variação de tempo Δt, a variação ΔV no volume de água

será

Δ 2 V ≅ − υ ( t ) π r Δt.

É razoável, então, admitir que a diferencial de V = V (t) seja dada

por

dV 2 = − υ ( t ) π r dt

ou que

 

De ① e ② resulta

 

Sendo υ = e r = 0,1, resulta que a altura h = h (t) da água no

tanque é regida pela equação

 

Temos

 

De h (0) = 5, resulta k = 400. Assim

 

O tempo necessário para esvaziar o tanque será então de 400

segundos ou 6 min 40 s.

 

Exemplo 6

Uma partícula move-se sobre o eixo x com aceleração proporcional

ao quadrado da velocidade. Sabe-se que no instante t = 0 a velocidade

é de 2 m/s e, no instante t = 1, 1 m/s.

a) Determine υ = υ (t), t ≥ 0.

b) Determine a função de posição supondo x (0) = 0.

Solução

a) O movimento é regido pela equação

 

em que α é a constante de proporcionalidade.

 

ou

 

Para t = 0, υ = 2, assim

 

Para t = 1, υ = 1, assim

Portanto,

 

b)

 

Tomando-se k = 0, a condição inicial x (0) = 0 estará satisfeita.

Assim,

x (t) = 2 ln (1 + t).

 

Exercícios 14.5

 

1. Resolva

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

l)

 

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

 

2. Determine y = y (x) que satisfaça as condições dadas.

a)

b)

c)

d)

 

3. Suponha que V = V (p), p > 0, satisfaça a equação (γ

constante). Admitindo que V = V , V > 0, para p = p , mostre que 1 1 1 V γ γ p = V p , para todo p > 0.

1 1

 

4. O coeficiente angular da reta tangente, no ponto de abscissa x, ao

gráfico de y = f(x), é proporcional ao cubo da ordenada do ponto de

tangência. Sabendo que f(0) = 1 e , determine f.

 

5. Um corpo de massa 10 kg é abandonado a uma certa altura. Sabe-se

que as únicas forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força de resistência proporcional à velocidade. Admitindo-se que 1 segundo

após ter sido abandonado a sua velocidade é de 8 m/s, determine a velocidade no instante t (suponha a aceleração da gravidade igual a 10 m/s 2 ).

 

6. A reta tangente ao gráfico de y = f(x), no ponto (x, y), intercepta o eixo

y no ponto de ordenada xy. Determine f sabendo que f(1) = 1.

 

7. Determine a curva que passa por (1, 2) e cuja reta tangente em (x, y)

intercepta o eixo x no ponto de abscissa .

 

8. Um corpo de massa 70 kg cai do repouso e as únicas forças atuando

sobre ele são o seu peso e uma força de resistência proporcional ao quadrado da velocidade. Admitindo-se que 1 segundo após o início da queda a sua velocidade é de 8 m/s, determine a velocidade no instante t 2 . (Suponha a aceleração da gravidade igual a 10 m/s .)

 

9. Para todo a > 0, o gráfico de y = f(x) intercepta ortogonalmente a curva

x 2 2 + 2 y = a. Determine f sabendo que f(1) = 2.

 

10. Para todo a > 0, o gráfico de y = f(x) intercepta ortogonalmente a curva

xy = a, x > 0. Determine f supondo f(2) = 3.