Um Curso de Cálculo, Volume 1
7.6 Derivabilidade e Continuidade
5. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = tg x no ponto de
abscissa 0.
6. Seja f(x) = cotg x. Calcule.
7. Seja g(x) = cosec x. Calcule.
7.6 Derivabilidade e Continuidade A função f(x) = | x | não é derivável em p = 0 (Exemplo 7-7.2); entretanto, esta função é contínua em p = 0, o que nos mostra que uma função pode ser contínua em um ponto sem ser derivável neste ponto.
Deste modo, continuidade não implica derivabilidade. Entretanto, derivabilidade implica continuidade, como mostra o seguinte teorema.
Teorema. Se f for derivável em p, então f será contínua em p.
Demonstração
Pela hipótese, f é derivável em p, logo existe e é igual a f′(p).
Precisamos provar que f é contínua em p, isto é, que Temos
Observação. Segue do teorema que, se f não for contínua em p, então f não poderá ser derivável
em p.
Exemplo 1
A função é derivável em p = 1? Por quê?
Solução
f não é contínua em 1, pois é diferente de
Como f não é contínua em 1, segue que f não é derivável em 1.
Exemplo 2
Seja
a) f é contínua em 1?
b) f é diferenciável em 1?
Solução
Assim,
logo, não existe, ou seja, f não é derivável em 1.
Exemplo 3
Seja
a) f é derivável em 1?
b) f é contínua em 1?
Solução
Logo, f é derivável em 1 e f′(1) = 2.
b) Como f é derivável em 1, segue que f é contínua em 1.
Exercícios 7.6
1. Seja
a) f é contínua em 2? Por quê?
b) f é derivável em 2? Por quê?
2. Seja
a) f é derivável em 0? Justifique.
b) f é contínua em 0? Justifique.