Um Curso de Cálculo, Volume 1
16 Fórmula de Taylor
16.1 Aproximação Local de uma Função Diferenciável
por uma Função Afim
Seja f uma função derivável em x e seja T dada por 0
T (x) = f(x ) + f′(x ) (x − x ). 0 0 0
O gráfico de T é a reta tangente ao gráfico de f em (x , f(x )). 0 0
Para cada x ∈ D , seja E (x) o erro que se comete na aproximação de f
f(x) por T (x):
Observe que, para x ≠ x . 0
daí,
ou seja: quando x → x , o erro E (x) tende a zero mais rapidamente que (x 0
− x ). 0
A função
T (x) = f(x ) + f′(x ) (x − x ) 0 0 0
é a única função afim que goza da propriedade de o erro E (x) tender a zero mais rapidamente que (x − x ). De fato, se S (x) = f(x ) + m (x − x ) for 0 0 0 uma função afim passando por (x , f(x )) tal que 0 0
f(x) = f(x ) + m (x − x ) + E (x), x ∈ D 0 0 1 f
em que = 0, então necessariamente m = f′(x ). (Verifique.) 0
Segue que, se f for derivável em x , 0
T (x) = f(x ) + f′(x ) (x − x ) 0 0 0
é a função afim que melhor aproxima localmente a f em volta de x . 0
A função T acima é uma função polinomial de grau no máximo 1; será
do grau 1 se f′(x ) ≠ 0. Assim, T é o polinômio de grau no máximo 1 que 0
melhor aproxima localmente a f em volta de x . 0
Observe que os valores de f e T em x são iguais, bem como os de suas 0
derivadas:
f(x ) = T (x ) e f′(x ) = T′(x ). 0 0 0 0
O polinômio
P (x) = f(x ) + f′(x ) (x − x ) 0 0 0
denomina-se polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de x . 0
O próximo teorema fornece-nos uma expressão para o erro E (x), que
aparece em a ① em termos da derivada 2 de f.
Teorema. a Seja f derivável até a 2 ordem no intervalo I e sejam x, x ∈ I. Então, existe pelo
0
menos um no intervalo aberto de extremos x e x tal que 0
Demonstração
E (x) = f(x) − [ f(x ) + f′(x ) (x − x )]. 0 0 0
Assim,
E (x ) = 0 e E′(x ) = 0. 0 0
(Observe que E′(x) = f′(x) − f′(x ), pois f(x ) e f′(x ) são constantes.) 0 0 0
Seja 2 h ( x ) = ( x − x ) ; segue que
0
h(x ) = 0 e h′(x ) = 0. 0 0
Temos
Pelo teorema de Cauchy, existe no intervalo de extremos x e x tal 0
que
Tendo em vista E′(x ) = h′(x ) = 0 0 0
Novamente, pelo teorema de Cauchy, existe no intervalo aberto de
extremos x e tal que 0
Como E″ (x) = f″ (x) e h″ (x) = 2
Portanto,
para algum no intervalo aberto de extremos x e x . 0
■
Exemplo 1
Seja a f derivável até a 2 ordem no intervalo I e seja x ∈ I. Suponha
0
que existe M > 0 tal que |f″(x)| ≤ M para todo x ∈ I. Prove que para
todo x em I
em que P (x) = f(x ) + f′(x ) (x − x ). 0 0 0
Solução
De acordo com o teorema, existe entre x e x tal que 0
ou
daí
Exemplo 2
Avalie ln 1,003.
Solução
Seja f(x) = ln x. O polinômio de Taylor, de ordem 1, de f em volta de
x = 1 é: 0
P (x) = f(1) + f′(1) (x − 1)
e como, f(1) = 0 e f′(1) = 1, resulta
P (x) = x − 1.
Assim,
f(1,003) ≅ P (1,003)
ou
ln 1,003 ≅ 0,003.
Interprete graficamente este resultado.
Avaliação do erro
Segue:
|f″(x)| ≤ 1 para x ≥ 1.
Pelo exemplo anterior,
Para x = 1,003
Assim, o módulo do erro cometido na aproximação
ln 1,003 ≅ 0,003
é inferior a 10 −5 . Observe que 0,003 é um valor aproximado por
excesso (faça os gráficos de f e de P e confira).
Exercícios 16.1
1. Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de
x dado. 0
a)
b) f(x) = sen x, x = 0 0
c)
d x ) f ( x ) = e , x = 0
0