Um Curso de Cálculo, Volume 1
B.3 Teorema da Limitação
Teorema (do valor intermediário). Se for contínua no intervalo fechado [a, b] e se γ for um
real compreendido entre f(a) e f(b), então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f(c) = γ.
Demonstração
Para fixar o raciocínio, suponhamos f(a) < γ < f(b). Consideremos a função
g (x) = f(x) – γ, x em [a, b].
Como f é contínua em [a, b], g também o é; temos, ainda
g (a) = f(a) – γ < 0 e g (b) = f(b) – γ > 0.
Pelo teorema do anulamento, existe c em [a, b] tal que g (c) = 0, ou seja,
f(c) = γ.
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B.3 Teorema da Limitação
Para a demonstração do teorema de Weierstrass, necessitaremos do teorema da limitação, cujos enunciado e demonstração serão objeto desta seção.
Dizemos que f é limitada em A ⊂ D se existir M > 0 tal que, para todo f
x em A
|f(x) | ≤ M.
Da definição acima, segue que, se f não for limitada em B ⊂ D , para f
todo natural n, existe x ∈ B, com |f(x )| > n. n n
Teorema (da limitação). Se f for contínua no intervalo fechado [a, b], então f será limitada
em [a, b].
Demonstração
Suponhamos, por absurdo, que f não seja limitada em [a, b]. Façamos a = a e b = b ; existe, então, x em [a , b ] tal que |f(x )| > 1. Seja c o 1 1 1 1 1 1 1 ponto médio de [a , b ]; f não será limitada em um dos intervalos [a , 1 1 1 c ] ou [c , b ]; suponhamos que não seja limitada em [c , b ] e façamos 1 1 1 1 1 a = c e b = b . Não sendo f limitada em [a , b ], existirá x ∈ [a , 2 1 2 1 2 2 2 2 b ] tal que |f(x )| > 2. Prosseguindo com este raciocínio, construiremos 2 2
uma sequência de intervalos
[a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ … ⊃[a , b ] ⊃ … 1 1 2 2 3 3 n n
satisfazendo as condições da propriedade dos intervalos encaixantes e tal que, para todo natural n > 0, existe x ∈ [a , b ] com n n n
Segue de ① que = +∞. Seja, agora, c o único real tal que,
para todo n > 0,
c ∈ [a , b ]. n n
Como a sequência x converge para c (verifique) e f é contínua em c, n
resulta que |f(c)| que está em contradição com +∞. Fica provado que a suposição de f não ser limitada em [a, b] nos leva a uma contradição. Portanto, f é limitada em [a, b].