13.9 Centro de Massa

O comprimento da curva é π (unidades de comprimento). (Observe que ρ

= sen θ é a equação de uma circunferência de centro e . raio

Confira.)

 

Exercícios 13.8

 

Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares.

 

1. ρ = θ, 0 ≤ θ ≤ π

 

2. −θ ρ = e , 0 ≤ θ < 2π

 

3. ρ = 1 + cos θ, 0 ≤ θ ≤ π

4.

 

5.

 

6. 2 ρ = θ , 0 ≤ θ ≤ 1

 

13.9 Centro de Massa Consideremos um sistema de “massas pontuais” m , m , …, m localizadas 1 2 n nos pontos (x , y ), (x , y ), …, (x , y ). O centro de massa do sistema é, 1 1 2 2 n n por definição, o ponto (x , y ) em que c c

 

Exemplo 1

Determine o centro de massa do sistema constituído pelas massas m , 1

m localizadas nos pontos (x , y ) e (x , y ), supondo m = m = m . 2 1 1 2 2 1 2

Solução

 

Deste modo, (x , y ) é o ponto médio do segmento de extremidades c c

(x , y ) e (x , y ). 1 1 2 2

 

Exemplo 2

Considere o sistema de massas m , m , m localizadas em (x , y ), 1 2 3 1 1

(x , y ) e (x , y ). Seja M = m + m e considere o sistema M e 2 2 3 3 1 1 2 1

m , com M localizada no centro de massa de m , m . Verifique que o 3 1 1 2

centro de massa de M , m é o mesmo que o de m , m , m . 1 3 1 2 3

Solução

Seja o centro de massa de m e m : 1 2

 

Seja o centro de massa de M , m : 1 3

 

Assim, = (x , y ). c c

 

Deixamos a seu cargo generalizar o resultado do Exemplo 2.

Vejamos, agora, como determinar o centro de massa de uma região A do

plano que será imaginada como uma lâmina delgada, homogênea, de modo que a densidade superficial ρ é constante (ρ é massa por unidade de área). Suponhamos, inicialmente, que A possa ser decomposta em n retângulos R , 1 R , …, R . Seja m a massa do retângulo R : m é o produto de ρ pela área 2 n i i i de R . Neste caso, definimos o centro de massa de A como o centro de massa i

do sistema m , m , …, m , com m localizada no centro de R . 1 2 n i i

Suponhamos, agora, A da forma

A = {(x, y) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g (x)}

em que f e g são supostas contínuas em [a, b], e f(x) ≤ g (x) em [a, b]. Seja P : a = x < x < x < … < x = b uma partição qualquer de [a, b] e seja c o 0 1 2 n i ponto médio de [x , x ] (i = 1, 2, …, n). i − 1 i

 

A massa m de R é: m = ρ [g (c ) − f(c )] Δx . O centro de massa da figura i i i i i i formada pelos retângulos R , R , …, R é: 1 2 n

 

Nada mais natural, então, do que tomar como centro de massa de A o ponto (x , y ) em que c c

e

 

 

Ou seja,

 

Suponha, finalmente, que A possa ser decomposta em n regiões A , A , 1 2

…, A , em que n

A 2 = {( x , y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b , f (x) ≤ y ≤ g (x)}

i i i i i com f , g contínuas em [a , b ] e f (x) ≤ g (x) em [a , b ]. Como você i i i i i i i i calcularia o centro de massa de A?

Exemplo 3

Determine o centro de massa da figura A limitada pela reta y = 1 e pela

parábola 2 y = x .

Solução

 

O centro de massa de A é o ponto .

 

Exemplo 4

Calcule o centro de massa do conjunto 2 2 2 A = {( x , y ) ∈ ℝ | 1 ≤ x + y ≤

4, x ≥ 0 e y ≥ 0}.

Solução

Vamos imaginar A como uma lâmina delgada, homogênea, com

densidade superficial ρ = 1. Sendo m e m as massas de A e A , 1 2 1 2

respectivamente, teremos, por ser ρ = 1,

m = área A e m = área A . 1 1 2 2

 

Sejam (x , y ) e (x , y ) os centros de massas de A e A , 1 1 2 2 1 2

respectivamente. O centro de massa de A será, então, o centro de massa

do sistema m , m com as massas localizadas, respectivamente, em 1 2

(x , y ) e (x , y ). Sendo, então, (x , y ) o centro de massa de A 1 1 2 2 c c

teremos

 

Como

resulta

 

e

 

Temos:

 

Segue que

Vejamos, a seguir, como determinar o centro de massa do gráfico de uma

 

função, que será imaginado como fio fino, homogêneo, de modo que a densidade linear ρ é constante (densidade linear é massa por unidade de comprimento). Seja f uma função definida e com derivada contínua em [a, b]. Seja P : a = x < x < x < … < x = b uma partição de [a, b] e seja c (i = 0 1 2 n i 1, 2, …, n) o ponto médio de [x , x ] i − 1 i

 

O segmento P P é tangente em (c , f(c )) ao gráfico de f: o comprimento i − 1 i i i deste segmento é (veja Seção 3.4); logo, sua massa m é: i m = . O centro de massa do sistema formado pelos i

segmentos P P (i = 1, 2, …, n) é o ponto i − 1 i

Nada mais natural, então, do que tomar para centro de massa do gráfico de f o ponto (x , y ) em que c c

 

Observe que dx é o comprimento do gráfico de f.

 

Observação importante. O centro de massa de um conjunto do plano não tem obrigação

alguma de pertencer a este conjunto.

 

Exercícios 13.9

 

1. Determine o centro de massa da região A dada.

a 2 3 ) A = {( x , y ) ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x }

b 2 2 2 ) A = {( x , y ) ∈ ℝ | x + 4 y ≤ 1, x ≥ 0 e y ≥ 0}

c 2 2 2 ) A = {( x , y ) ∈ ℝ | x + 4 y ≤ 1, y ≥ 0}

d 2 2 ) A = {( x , y ) ∈ ℝ | x ≤ y ≤ x}.

2. Determine o centro de massa do gráfico da função dada.

a)

b)

 

c)

 

3. (Teorema de Pappus.) Considere o conjunto

A 2 = {( x , y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g (x)}

 

em que f e g são supostas contínuas em [a, b] e 0 ≤ f(x) ≤ g (x) em [a, b]. Mostre que o volume do sólido, obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto A, é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa de A.

 

4. Sejam f e g contínuas em [a, b], com α ≤ f(x) ≤ g (x) em [a, b] em que α é

um real dado. Seja o conjunto

A 2 = {( x, y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g (x)}

 

Mostre que o volume do sólido, obtido pela rotação em torno da reta y = α do conjunto A, é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa de A.

5. 2 2 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do círculo x + ( y − 2) ≤

1 em torno

a) do eixo x.

b) da reta y = 1.

 

6. 2 2 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região x + 4 y ≤ 1,

em torno da reta y = 1.

 

7. 2 4 Seja A = {( x , y ) ∈ ℝ | x ≤ y ≤ 1}.

a) Calcule o centro de massa de A.

b) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y

= 2.

 

8. 2 2 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do círculo x + y ≤ 1 em

torno da reta x + y = 2.

 

9. (Teorema de Pappus para área de superfície de revolução). Suponha f(x) ≥

0 e com derivada contínua em [a, b]. Mostre que a área da superfície, obtida pela rotação em torno do eixo x do gráfico de f, é igual ao produto do comprimento do gráfico de f pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa do gráfico de f.

 

10. Seja A o conjunto do plano de todos os (x, y) tais que 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ f(x)

≤ y ≤ g (x), em que f e g são supostas contínuas em [a, b]. Imagine A como

uma lâmina delgada, homogênea, de modo que a densidade superficial ρ é constante (ρ é massa por unidade de área). Seja (x , y ) o centro de massa c c de A. Sejam V o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno do x

eixo x e V o volume obtido pela rotação de A em torno do eixo y. Pelo y

teorema de Pappus (Exercício 3 acima), V é igual ao produto da área de x A pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação em torno do eixo x, pelo centro de massa de A. Do mesmo modo, V é igual ao y produto da área de A pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação em torno do eixo y, pelo centro de massa de A. Pois bem, destas informações conclua que

 

11. 2 2 Determine o centro de massa da região A dada por 1 ≤ x + y ≤ 4, x ≥ 0

e y ≥ 0. (Sugestão: Com as funções f e g dadas por f(x) = , 0 ≤ x

≤ 2 e g (x) = se 0 ≤ x ≤ 1 ou g(x) = 0 se 1 < x ≤ 2 o teorema de

Pappus se aplica. Calcule então V , V e a área de A e utilize o Exercício y x 10. Compare a sua solução com a do Exemplo 4.)

 

12. 2 2 Determine o centro de massa da região A dada por 4 x + y ≤ 4, y ≥ 0.

(Sugestão: Para o cálculo de x aproveite a simetria da figura.) c

 

13. 2 2 2 Calcule o centro de massa do setor circular A dado por x + y ≤ R , 0 ≤

y ≤ α x e 0 ≤ x ≤ R, com R > 0 e 0 < α.

14. Suponha que a região A do plano, situada no semiplano y ≥ 0, possa ser

dividida em duas partes A e A às quais se aplica, em relação ao eixo x, 1 2 o teorema de Pappus. Suponha, ainda, que a área de A seja igual à soma das áreas de A e A e V = V + V , em que V , V e V são os 1 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x x volumes respectivos dos sólidos obtidos, pela rotação em torno do eixo x, de A , A e A. Mostre que, em relação ao eixo x, o teorema de Pappus 1 2

aplica-se, também, a A. (Estabeleça resultado análogo em relação ao eixo y, supondo A situada no semiplano x ≥ 0.)

 

15. Sejam A = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2}, A = {(x, y) | 2 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 1 2

3} e A a reunião de A e A . Determine o centro de massa de A. 1 2

 

16. 2 Determine o centro de massa do conjunto −1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ ( x + 1) .

(Sugestão: Resolva o problema no plano (u, y), com u = x + 1.)

 

17. Utilizando o Exercício 9, estabeleça, para gráfico de função, resultado

análogo ao do Exercício 10.

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