7.13 Derivação de Função Dada Implicitamente

3. Utilizando o resultado obtido no Exercício 2, calcule a derivada.

a x ) y = ( x + 2)

b x 2 x ) y = (1 + e )

c x ) y = (4 + sen 3 x )

d x 2 ) y = ( x + 3)

e x 2 ) y = (3 + π)

f 2 π ) y = ( x + 1)

 

7.13 Derivação de Função Dada Implicitamente

Consideremos uma equação nas variáveis x e y. Dizemos que uma função y = f(x) é dada implicitamente por tal equação se, para todo x no domínio de f, o ponto (x, f(x)) for solução da equação.

Exemplo 1

Seja a equação 2 2 x + y = 1. A função y = é dada

implicitamente pela equação, pois, para todo x em [−1, 1],

Observe que a função y = – é, também, dada implicitamente por

tal equação.

 

Exemplo 2

Determine uma função que seja dada implicitamente pela equação 2 y +

xy − 1 = 0.

Solução

 

A função

 

é dada implicitamente pela equação. É claro que

 

é outra função dada implicitamente por tal equação.

 

Exemplo 3

Mostre que existe uma única função y = f(x), definida em R, e dada

implicitamente pela equação 3 y + y = x. Calcule f(0), f(10) e f(−2).

Solução

A função 3 g ( y ) = y + y é estritamente crescente em R (verifique),

contínua, com = +∞ e = −∞. Segue do

teorema do valor intermediário que para cada x real existe ao menos um

número tal que

 

Como g é estritamente crescente, tal é o único número real

satisfazendo . A função f, definida em R, e que a cada x associa f(x),

em que f(x) é o único real tal que

[ 3 f ( x )] + f(x) = x,

é a única função definida em R e dada implicitamente pela equação.

Cálculo de f(0)

[ 3 2 f (0)] + f (0) = 0 ⇔ f (0)[( f (0)) + 1] = 0;

assim,

f(0) = 0.

Cálculo de f(10)

[ 3 f (10)] + f(10) = 10;

deste modo, 3 f (10) é raiz da equação y + y = 10. Como y = 2 é a única

raiz, resulta f(10) = 2. Cálculo de f(−2)

f 3 (−2) é a única raiz da equação y + y = −2. Assim,

f(−2) = −1.

Exemplo 4

Seja 3 y = f ( x ), x ∈ R, a função dada implicitamente pela equação y + y =

x. Suponha que f seja derivável.

 

b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (10,

f(10)).

Solução

a) 3 Como y = f ( x ) é dada implicitamente pela equação y + y = x, segue

que, para todo x,

[ 3 f ( x )] + f(x) = x

daí

 

Assim,

3[ 2 f ( x )] f′(x) + f′(x) = 1

e, portanto,

 

Poderíamos, também, ter chegado a este resultado trabalhando

diretamente com a equação 3 y + y = x:

ou

 

e, portanto,

 

b) A equação da reta tangente ao gráfico de f em (10, f(10)) é:

y − f(10) = f′(10)(x − 10)

 

Substituindo na equação acima, obtemos

 

Exemplo 5

A função 2 2 y = f ( x ), y > 0, é dada implicitamente pela equação x + y =

4.

Solução

 

b) Para todo x no domínio de f

 

ou seja,

 

Consideremos a equação sen y = x. No intervalo , a função sen y é

estritamente crescente e contínua. Assim, para cada x ∈ [−1, 1] existe um

único y ∈ tal que sen y = x. Pois bem, a função y = y(x) definida implicitamente por essa equação e que a cada x ∈ [−1, 1] associa y ∈

é denominada função arco-seno e é indicada por y = arcsen x. Assim,

para y ∈ ,

sen y = x ⇔ y = arcsen x.

Observe que o domínio da função arcsen é o intervalo [−1, 1] e a imagem o

intervalo . No próximo exemplo, vamos calcular a derivada de y =

arcsen x supondo que tal derivada exista. (Veremos mais adiante que y = arcsen x é de fato derivável em ]−1, 1[.)

Exemplo 6

Supondo que y = arcsen x seja derivável em ]−1, 1[, calcule

Solução

 

Temos

 

dai

Assim,

 

Consideremos, agora, a equação tg y = x. No intervalo , a

função tg y é estritamente crescente e contínua. Além disto,

Segue que para cada x ∈ R existe

um único y ∈ tal que tg y = x. A função y = y(x) definida

implicitamente por essa equação e que a cada x ∈ R associa y ∈

é denominada função arco-tangente e é indicada por y = arctg

x. Assim, para y ∈ ,

tg y = x ⇔ y = arctg x.

 

No próximo exemplo, vamos calcular a derivada de y = arctg x supondo

que tal derivada exista. (Veremos mais adiante que y = arctg x é derivável em R.)

Exemplo 7

Supondo y = arctg x derivável em R, calcule

Solução

 

Temos

 

daí

 

e, portanto, 2 2 Lembrando que sec y = 1 + tg y e tg y = x,

resulta

 

Assim

 

Exemplo 8

Calcule a derivada

 

Solução

a) Você aprendeu na seção anterior como derivar tal função. Vejamos,

agora, outro processo para derivá-la.

y x 3 3 = x ⇔ ln y = x ln x (x > 0)

o que significa que x 3 3 y = x é dada implicitamente por ln y = x ln x.

Temos

 

daí

 

ou seja,

y 2 2 ′ = y [3 x ln x + x ].

Portanto,

 

b) 3 y = ⇔ y = arcsen x. Assim, a função y = é

dada implicitamente por 3 y = arcsen x. Temos

daí

 

Exercícios 7.13

 

1. Suponha que y = f(x) seja uma função derivável e dada implicitamente pela

equação

xy 2 + y + x = 1.

 

Mostre que f′(x) = em todo x ∈ D com 2x f(x) + 1 ≠ 0. f

 

2. Determine uma função y = f(x) que seja dada implicitamente pela equação

xy 2 + y + x = 1.

 

3. A função y = f(x) é dada implicitamente pela equação xy + 3 = 2x. Mostre

que = 2 − y. Calcule 4. Expresse em termos de x e de y, em que y = f(x) é uma função

diferenciável dada implicitamente pela equação

a 2 2 ) x − y = 4

b 3 2 ) y + x y = x + 4

c 2 ) xy + 2y = 3

d 5 ) y + y = x

e 2 2 ) x + 4 y = 3

f 3 ) xy + y = x

g 2 2 ) x + y + 2y = 0

h 2 3 ) x y + xy = 2

i y ) xe + xy = 3

j 2 2 ) y + ln( x + y ) = 4

l) 5y + cos y = xy

m) 2y + sen y = x

 

5. 2 2 A função y = f ( x ), y > 0, é dada implicitamente por x + 4 y = 2.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abscissa 1.

6. Determine a equação da reta tangente à elipse no ponto

(x , y ), y ≠ 0. 0 0 0

 

7. Verifique que y x + x y = 2 é a equação da reta tangente à curva xy = 1 0 0

no ponto (x , y ), x > 0. Conclua que (x , y ) é o ponto médio do 0 0 0 0 0 segmento AB, em que A e B são as interseções da reta tangente, em (x , 0 y ), com os eixos coordenados. 0

 

8. Suponha que y = f(x) seja uma função derivável dada implicitamente pela

equação 3 2 y + 2 xy + x = 4. Suponha, ainda, que 1 ∈ D .

f

a) Calcule f(1).

b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de

abscissa 1.