Um Curso de Cálculo, Volume 1
7.10 Regra da Cadeia para Derivação de Função Composta
7.10 Regra da Cadeia para Derivação de Função
Composta
Sejam y = f(x) e x = g(t) duas funções deriváveis, com Im g ⊂ D . Nosso f objetivo, a seguir, é provar que a composta h(t) = f(g(t)) é derivável e que vale a regra da cadeia
Antes de passarmos à demonstração de ① , vejamos como fica a regra da
cadeia na notação de Leibniz. Temos
Sendo a composta dada por y = f(g(t)), segue de ① que
ou
Assim,
em que deve ser calculado em x = g(t).
Suponhamos y = f(x) derivável em p, x = g(t) derivável em t , com p = 0
g(t ), e Im g ⊂ D . Seja h(t) = f(g(t)). Vamos provar que 0 f
h′(t ) = f′(g(t )) g′(t ). 0 0 0
Para isto, consideremos a função T dada por
T(x) = f(p) + f′(p)(x – p).
Observe que o gráfico de T é a reta tangente ao gráfico de f, em (p, f(p)).
Temos
f(x) = T(x) + E(x)
ou em que E(x) é o erro que se comete ao aproximar f(x) por T(x). Conforme vimos no Exemplo 8 da Seção 7.2, E(x) = ρ(x)(x – p), x ∊ D , em que f