Um Curso de Cálculo, Volume 1
16.3 Polinômio de Taylor de Ordem n
9. a Seja f derivável até a 2 ordem no intervalo fechado [a, b] e seja x ∈ 0
[a, b]. Mostre que existe M > 0 tal que para todo x em [a, b].
em que 2 P ( x ) = f ( x ) + f ′( x ) ( x − x ) + ( x − x ) .
0 0 0 0
(Sugestão: verifique que a função φ (x) do Exercício 8, com φ (x ) = 0, 0 é contínua em [a, b].)
16.3 Polinômio de Taylor de Ordem n
Seja f derivável até a ordem n no intervalo I e seja x ∈ I. O polinômio 0
denomina-se polinômio de Taylor, de ordem n, de f em volta de x . 0
O polinômio de Taylor, de ordem n, de f em volta de x é o único 0
polinômio de grau no máximo n que aproxima localmente f em volta de x 0 de modo que o erro E n ( x ) tenda a zero mais rapidamente que ( x − x ) ,
0
quando x → x . (Verifique.) 0
O polinômio de Taylor, de ordem n, de f em volta de x = 0 denomina-0
se também polinômio de Maclaurin, de ordem n, de f.
Exemplo 1
Determine o polinômio de Taylor, de ordem 4, de x f ( x ) = e em volta
de x = 0. 0
Solução
Assim,
Exemplo 2
Determine o polinômio de Taylor, de ordem 3, de f(x) = ln x, em volta
de x = 1. 0
Solução
Assim,
Teorema. (Fórmula de Taylor com resto de Lagrange.) Seja f derivável até a ordem n + 1 no
intervalo I e sejam x, x ∈ I. Então existe pelo menos um no intervalo aberto de extremos 0
x e x tal que 0
em que
Demonstração
Fica a seu cargo.
Exemplo 3
Seja f derivável até a ordem n + 1 no intervalo I e seja x ∈ I. 0
Suponha que existe M > 0 tal que, para todo x em I,
Prove que, para todo x em I,
em que P (x) é o polinômio de Taylor, de ordem n, de f em volta de
x . 0
Solução
Segue do teorema anterior que, para todo x em I, existe entre x e
x tal que 0
Como para todo ( n + 1) x em I , | f (x)| ≤ M, resulta
Exemplo 4
a) Mostre que, para todo x em [0, 1],
b −5 ) Avalie e com erro, em módulo, inferior a 10 .
Solução
a x (n + 1) ) Seja f ( x ) = e . De f ( x ) = f ′( x ) = f ″( x ) = … = f (x) segue que
o polinômio de Taylor, de ordem x n , de f ( x ) = e em volta de x
0
= 0 é
Para x (n + 1) x em [0, 1], 0 ≤ e = f (x) ≤ e < 3.
De acordo com o teorema anterior, para todo x em [0, 1], existe entre 0 e x tal que
Assim, para todo x em [0, 1] (tendo em vista a desigualdade na página anterior)
b) Para x = 1
Precisamos determinar n de modo que
Por tentativas, chega-se a n = .
Assim,
com erro inferior a 10 −5 .
Observação. Como = 0, segue do teorema do confronto, que
Mostraremos, no próximo exemplo, que e é um número irracional.
Exemplo 5
O número e é irracional.
Solução
Suponhamos que e fosse racional; assim existiriam inteiros positivos
a e b tais que
Para todo natural n,
e, pelo exemplo anterior,
Daí, para todo natural n,
Para n > b e n ≥ 3, temos
Assim, A − B é um inteiro estritamente positivo e menor que ,
que é impossível.
Conclusão. O número e é irracional.
No próximo exemplo mostraremos que
em que a > 0 é um real fixo. Este resultado será útil na resolução de alguns dos exercícios que serão propostos no final da seção.
Exemplo 6
Mostre que = 0 em que a > 0 é um real fixo.
Solução
Tomemos um natural N tal que .
Temos, então:
e, assim, para todo natural p ≥ 1,
Multiplicando ambos os membros por vem:
Fazendo n = N + p
De = 0, segue que
Exemplo 7
Mostre que, para todo x.
Solução
Para todo x, existe entre 0 e x tal que
Se x > 0, , pois ∈ ] 0, x [, logo
Como = 0, pelo confronto,
Se 0 x < 0, < e = 1, pois ∈ ] x, 0 [; logo
De = 0, segue
Fica provado, assim, que, para todo x,
Esta igualdade é usualmente escrita na forma
Exemplo 8
Mostre que, para todo x,
Solução
Pelo exemplo anterior, para todo x ≥ 0,
Como, para todo 2 x , x ≥ 0, resulta, substituindo na desigualdade
acima 2 x por x ,
Para discutir o próximo exemplo, vamos precisar antes estabelecer uma
desigualdade para integrais. Já vimos que, se f for contínua em [a, b] e f(x) ≥ 0 em [a, b], então . Segue desta desigualdade que, se f e g forem contínuas em [a, b] e f(x) ≤ g (x) em [a, b], então
Suponhamos, então, f contínua em [a, b]; assim, também é contínua em
[a, b] e temos para todo x em [a, b],
daí,
logo
Exemplo 9
Calcule −5 com erro, em módulo, inferior a 10 .
Solução
Para x em [0, 1], ≤ e < 3. Segue então do exemplo anterior que,
para todo x em [0, 1],
Temos:
Como
resulta
Por tentativas, chega-se que, para n = 7,
Assim,
com erro, em módulo, inferior a 10 −5 .
Exercícios 16.3
1. Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x dado. 0
a e x = 0 0 ) f ( x ) = sen x
b e x = 0 0 ) f ( x ) = cos x
c e x = 1 0 ) f ( x ) = ln x
d e x = 1 0 ) f ( x ) =
e α e x = 0, em que α ≠ 0 é um real dado. 0 ) f ( x ) = (1 + x )
2. Sejam n um natural ímpar e f(x) = sen x. Mostre que, para todo x,
3. −5 Avalie sen 1 com erro, em módulo, inferior a 10 . (Sugestão: utilize o
Exercício 2.)
4. Mostre que, para todo x,
ou 5. −3 Calcule um valor aproximado com erro, em módulo, inferior a 10 .
a)
b)
6. Mostre que, para todo x,
ou
7. 2 n a ) Verifique que 1 + t + t + … + t = (t ≠ 1). Conclua que,
se |t| < 1,
ou seja,
b 2 3 n n ) Verifique que 1 − t + t − t + … + (−1) t é o polinômio de
Taylor, de ordem n, de em volta de 0.
c) Mostre que a função E (t) dada por
é contínua em ]−1, +∞[.
d) Mostre que, para todo x > −1,
e) Verifique que é o
polinômio de Taylor, de ordem n + 1, de ln (x + 1) em volta de 0.
8. Determine o polinômio de Taylor, de ordem 5, de g (x) = arctg x em
volta de 0.
9. Seja f(x) = .
a 2 4 6 8 10 ) Mostre que P ( x ) = 1 − x + x − x + x − x é o polinômio de
Taylor, de ordem 10, de f em volta de x = 0. (Não é necessário 0 calcular as derivadas de f!!)
b) Mostre que a função E (x) dada por
é contínua em ℝ.
c) Olhando para o polinômio do item (a), calcule f′(0), f″(0), f‴(0) etc.
10. Determine o polinômio de Taylor, de ordem 11, de g (x) = arctg x em
volta de x = 0. 0
(Sugestão: arctg x = e utilize o Exercício 9.)
11. α Seja f ( x ) = (1 + x ) , em que α ≠ 0 é um real dado. Determine o
polinômio de Taylor, de ordem n, de f em volta de x = 0 e dê a 0 expressão do erro em termos da derivada de ordem n + 1.
OceanofPDF.com