D.3 Integrabilidade das Funções Contínuas

para toda partição P de [a, b] e qualquer que seja a escolha de c em [x , i i − 1

x ]. i

Provaremos, na próxima seção que, se f for contínua em [a, b], dado ε >

0, existirá δ > 0 tal que

para toda partição P de [a, b], com máx Δx < δ. i

Seguirá, então, de ⑤ que toda função contínua em [a, b] é integrável em

[a, b].

D.3 Integrabilidade das Funções Contínuas

Antes de passarmos à demonstração do próximo lema, observamos que, se f for contínua em p, dado ε > 0, existirá δ > 0 tal que, para todo s e t no domínio de f,

De fato, sendo f contínua em p, dado ε > 0 existirá δ > 0 tal que, para

todo x ∈ D , f

De ① e de

segue que quaisquer que sejam s, t ∈ D f

Lema. Seja f contínua em [a, b]. Então, dado ε > 0, existe uma partição P : a = x < x < 0 1

x < … < x = b de [a, b] tal que 2 n

M − m < ε (i = 1, 2, …, n) i i

em que M e m são, respectivamente, os valores máximos e mínimos de f em [x , i i i − 1

x ]. i

Demonstração

Suponhamos, por absurdo, que, para um dado ε > 0, não exista partição P de [a, b] para a qual se tenha M − m < ε para i = 1, 2, …, n. Façamos, i i então, a = a , b = b e seja c o ponto médio de [a , b ]; segue que [a , 1 1 1 1 1 1 c ] ou [c , b ] não admitirá partição que satisfaça a condição M − m < 1 1 1 i i ε em todo subintervalo da partição. Seja [a , b ] aquele dos dois intervalos 2 2 acima que não admite partição satisfazendo a condição citada. Seja c o 2 ponto médio de [a , b ]; [a , c ] ou [c , b ] não admitirá partição 2 2 2 2 2 2 satisfazendo a condição citada; seja [a , b ] aquele dos dois intervalos 3 3 acima que não admite tal partição. Prosseguindo com este raciocínio, construiremos uma sequência de intervalos

[a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ … ⊃ [a , b ] ⊃ … 1 1 2 2 k k satisfazendo a propriedade dos intervalos encaixantes e tal que para todo natural k ≥ 1, [a , b ] não admitirá partição satisfazendo a condição M − k k i m < ε em todo subintervalo de tal partição. Seja p o único real de [a, b] tal i

que para todo k ≥ 1, p ∈ [a , b ]. Como f é contínua em p, para o ε > 0 k k acima existe δ > 0 tal que quaisquer que sejam s, t em [a, b]

Por outro lado, existe k tal que

[a , b ] ⊂ ]p − δ, p + δ[ k k

e, assim, para toda partição de [a , b ], teríamos k k

M − m < ε i i

em todo subintervalo de tal partição, que é uma contradição. Fica provado, deste modo, que, para todo ε > 0, existe uma partição P de [a, b] tal que

M − m < ε i i

em todo subintervalo [x , x ] determinado por tal partição. i − 1 i

■

Teorema. Se f for contínua em [a, b], dado ε > 0, existirá δ > 0, tal que quaisquer que sejam s,

t ∈ [a, b]

Demonstração

Pelo lema, dado ε > 0, existe uma partição P de [a, b] tal que

em todo subintervalo [x , x ] determinado pela partição. Seja δ o menor i − 1 i

dos números Δx , Δx , …, Δx , em que Δx = x − x . 1 2 n i i i − 1

Sejam s e t dois reais quaisquer em [a, b], com |s − t| < δ. Dois casos

podem ocorrer: s e t pertencem a um mesmo intervalo [x , x ] ou s ou t i − 1 i pertencem, respectivamente, a intervalos consecutivos [x , x ] e [x , x j − 1 j j j

]. No 1 o o caso teremos No 2 caso, teremos + 1

Fica provado, assim, que quaisquer que sejam s e t em [a, b]

■

Teorema. (Integrabilidade das funções contínuas.) Se f for contínua em [a, b], então f

será integrável em [a, b].

Demonstração

Segue do teorema anterior que, para todo ε > 0, existe δ > 0, tal que quaisquer que sejam s, t em [a, b]