Um Curso de Cálculo, Volume 1
14 Equações Diferenciais de 1ª Ordem de Variáveis Separáveis e Lineares
14.1 Equações Diferenciais: Alguns Exemplos
As soluções de muitos problemas que ocorrem tanto na física como na geometria dependem de resoluções de equações diferenciais. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1
Uma partícula desloca-se sobre o eixo x de modo que, em cada
instante t, a velocidade é o dobro da posição. Qual a equação
diferencial que rege o movimento?
Solução
Neste problema, o que nos interessa determinar é a função de posição
x = x (t). De acordo com o enunciado do problema, o movimento é
regido pela a equação diferencial de 1 ordem
Conforme o Exercício 2 da Seção 10.1, as funções que satisfazem
tal equação são da forma 2t x = ke , k constante. Assim, a função de
posição do movimento é da forma 2t x = ke .
Exemplo 2
Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação de
uma única força, paralela ao deslocamento, com componente f(x) =
−x. Qual a equação diferencial que rege o movimento?
Solução
Pela lei de Newton
Assim, o movimento é regido pela a equação diferencial de 2 ordem
Uma solução desta equação é uma função que é igual à oposta de
sua derivada segunda. Por exemplo, (sen t)″ = −sen t, assim x = sen t
é uma solução da equação. Veja, sendo x = sen t, para todo t,