7.7 Regras de Derivação

3. Seja

 

a) f é derivável em 3? Justifique.

b) f é contínua em 3? Justifique.

 

7.7 Regras de Derivação

 

Teorema 1. Sejam f e g deriváveis em p e seja k uma constante. Então, as funções f +g, kf e f ·g são

deriváveis em p e têm-se

(D1) (f + g) ′(p) = f′(p) + g′(p).

(D2) (kf)′ (p) = kf′(p).

(D3) (f · g)′(p) = f′(p)g(p) + f(p) g′(p).

Demonstração

 

(Em palavras: A derivada de uma soma é igual à soma das derivadas das parcelas.)

 

(Em palavras: A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função.)

 

Observe que, pelo fato de g ser derivável em p, g será contínua em p, e, assim,

(Em palavras: A derivada do produto de duas funções é igual à derivada da primeira multiplicada pela segunda mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda.)

■

 

Teorema 2. (Regra do quociente). Se f e g forem deriváveis em p e se g(p) ≠ 0, então será

derivável em p e

 

(Em palavras: A derivada de um quociente é igual à derivada do numerador multiplicado pelo

denominador menos o numerador multiplicado pela derivada do denominador, sobre o quadrado do

denominador.)

 

Demonstração

 

Somando e subtraindo f (p)g(p) ao numerador resulta

 

e, portanto,

Observação. A notação [f(x)]′ é usada com frequência para indicar a derivada de f(x) em x.

 

Exemplo 1

Seja 3 2 f ( x ) = 4 x + x . Calcule.

 

a) f′(x).

 

b) f′(1).

Solução

 

Pela (D2), (4 3 3 2 2 x )′ = 4 · ( x )′ = 4 · 3 x = 12 x .

Segue

f 3 2 2 ′( x ) = (4 x )′ + ( x )′ = 12 x + 2x,

ou seja,

f 2 ′( x ) = 12 x + 2x.

b) 2 Como f ′( x ) = 12 x + 2x, segue f′(1) = 14.

 

Exemplo 2

Calcule 4 g ′( x ) em que g ( x ) = 5 x + 4.

Solução

g 4 4 ′( x ) = [5 x + 4]′ = (5 x )′ + (4)′.

Já vimos que a derivada de uma constante é zero, assim, (4)′ = 0.

Como (5 4 3 x )′ = 20 x resulta

g 3 ′( x ) = 20 x .

 

Exemplo 3

Calcule f′(x) em que

Solução

Pela regra do quociente

 

Como

(2 2 x + 3)′ = 2 e ( x + 1)′ = 2x

resulta

Exemplo 4

 

Seja 2 x f ( x ) = (3 x + 1) e . Calcule f′(x).

Solução

Pela regra do produto

f 2 x 2 x ′( x ) = (3 x + 1)′ e + (3 x + 1) ( e )′.

Como

(3 2 x x x + 1)′ = 6 x e ( e )′ = e

resulta

f x 2 x ′( x ) = 6 x e + (3 x + 1) e ,

ou seja,

f 2 x ′( x ) = (3 x + 6 x + 1) e .

 

Exemplo 5

Seja Calcule h′(x).

Solução

Pela regra do quociente

 

Exemplo 6

Seja 3 f ( x ) = x + ln x. Calcule f′(x).

Solução

 

Exemplo 7

Sejam f , f , …, f , n ≥ 2, funções deriváveis em p. Prove, por indução 1 2 n

finita, que f + f + … + f é derivável em p e que 1 2 n

 

Solução

i) Para n = 2 é verdadeira (D1).

ii) Seja k ≥ 2. De

f + f + … + f + f = [ f + f + … + f ] + f 1 2 k k + 1 1 2 k k + 1

segue que se a afirmação for verdadeira para n = k também o será para n

= k + 1.

 

Exemplo 8

Calcule a derivada

 

Solução

 

Exercícios 7.7

 

1. Calcule f′(x).

2. Seja Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g

 

no ponto (1, g (1)).

3. Seja

a) Determine o ponto do gráfico de f em que a reta tangente, neste ponto,

seja paralela ao eixo x.

b) Esboce o gráfico de f.

 

4. 3 2 Seja f ( x ) = x + 3 x + 1.

a) Estude o sinal de f′(x).

b) Calcule e

c) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de f.

 

5. 3 2 Mesmo exercício que o anterior, considerando a função f ( x ) = x + x –

5x.

 

6. 3 Seja f ( x ) = x + 3x.

a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de

abscissa 0.

b) Estude o sinal de f′(x).

c) Esboce o gráfico de f.

 

7. Calcule F′(x) em que F(x) é igual a

8. Seja

 

a) Determine os pontos do gráfico de g em que as retas tangentes, nestes

pontos, sejam paralelas ao eixo x.

b) Estude o sinal de g′(x).

c) Calcule e

d) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de g.

 

9. Calcule f′(x) em que f(x) é igual a

10. 2 Seja f ( x ) = x sen x + cos x. Calcule:

a) f′(x)

b) f′(0)

c) f′(3a)

d 2 ) f ′( x )

 

11. Seja f(x) = sen x + cos x, 0 ≤ x ≤ 2π.

a) Estude o sinal de f′(x).

b) Faça um esboço do gráfico de f.

 

12. Calcule f′(x).

13. Sejam f, g e h funções deriváveis. Verifique que