13.2 Volume de Sólido Obtido pela Rotação, em Torno do Eixo y, de um Conjunto A

deste triângulo, em torno do eixo x, é igual ao produto da área deste triângulo pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo baricentro do triângulo.

 

13.2 Volume de Sólido Obtido pela Rotação, em Torno

do Eixo y, de um Conjunto A

Suponha f(x) ≥ 0 e contínua em [a, b], com a > 0. Seja A o conjunto do plano de todos os pares (x, y) tais que a ≤ x ≤ b e 0 ≤ y ≤ f(x). Seja B o conjunto obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto A. Nosso objetivo, a seguir, é mostrar que é razoável tomar para volume de B o número

 

ou

 

Seja P: a = x < x < x < … < x < x < … < x = b uma partição de 0 1 2 i − 1 i n [a, b] e seja c o ponto médio de [x , x ]. i i − 1 i

Seja R o retângulo x ≤ x ≤ x e 0 ≤ y ≤ f(c ). Pelo teorema de Pappus i i − 1 i i para retângulo, o volume do sólido gerado pela rotação do retângulo R , em i torno do eixo y, é

 

Deste modo, a soma de Riemann

 

é um valor aproximado para o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto A. Por outro lado, pelo fato de f ser contínua, tem-se Logo, é razoável tomar ① para volume de B. Veremos no Vol. 3 que esta nossa atitude é correta. (Para uma prova de ①, num caso particular, veja Exercício 3 desta seção.)

Exemplo 1

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do

conjunto de todos (x, y) tais que

0 ≤ 3 x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x − x .

Solução

 

Já sabemos que dV = 2π xf(x) dx é a diferencial de .

Agora, observe que f(x) dx é a área do retângulo de altura f(x) e base dx e, para dx suficientemente pequeno, 2πx é aproximadamente o comprimento da circunferência gerada pelo baricentro do retângulo mencionado e daí, pelo teorema de Pappus para retângulos, 2π x f(x) dx é aproximadamente o volume do invólucro cilíndrico obtido pela rotação, em torno do eixo y, de tal retângulo.

O volume obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto A é então a

integral dessa diferencial, para x variando de a até b, ou seja, ,

em que y = f(x). Este método de determinar volume é às vezes denominado método dos invólucros cilíndricos ou método das cascas.

Vejamos, agora, uma outra fórmula, que é do mesmo tipo daquela da seção

anterior, para calcular volume de sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, de um conjunto que não intercepta tal eixo. Seja então B o conjunto: B = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e y ≥ f(x)}, em que f é suposta contínua e estritamente crescente (ou estritamente decrescente) em [a, b], com a ≥ 0, f(a) = c e f(b) = d.

Como y = f(x) é contínua e estritamente crescente em [a, b], então é inversível, com inversa x = g (y) contínua em [c, d], em que c = f(a), d = f(b) e y = f(x) ⇔ x = g (y). Raciocinando como na seção anterior, o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto B é

 

 

Observe que π 2 x dy é o volume do cilindro obtido pela rotação, em torno do eixo y, do retângulo de base x e altura dy. (Veja a figura anterior.)

Exemplo 2

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do

conjunto de todos os pares ( 2 x , y ) tais que x ≤ y ≤ 4, x ≥ 0.

Solução

Temos:

Segue que

E, portanto,

 

Observação. Este volume poderia, também, ter sido calculado utilizando-se a fórmula anterior.

Neste caso, o volume pedido seria a diferença entre o volume gerado pela rotação, em torno do eixo

y, do retângulo 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4 e o volume gerado pela rotação, em torno do eixo y, do

conjunto 0 ≤ 2 x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ f ( x ), em que f ( x ) = x . Ou seja,

 

Exemplo 3

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, do

conjunto de todos os pares (x, y) tais que

.

Solução

 

1 o Processo (Utilizando a primeira fórmula.)

 

E, portanto, volume = .

2 o Processo (Utilizando a segunda fórmula.)

Então

 

Para encerrar a seção, vamos resumir num quadro o que aprendemos nesta

seção e na anterior.

 

A = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} e B = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, y ≥

f(x)}

I) = volume gerado por A na rotação em torno do eixo x.(y =

f(x))

II) = volume gerado por B na rotação em torno do eixo y.(x =

g (y))

III) = volume gerado por A na rotação em torno do eixo y.(y

= f(x))

IV) = volume gerado por B na rotação em torno do eixo x.(x

= g (y))

 

Exercícios 13.2

 

1. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do

conjunto de todos os (x, y) tais que

a) 1 ≤ x ≤ e e 0 ≤ y ≤ ln x.

b)

c 2 ) 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ x − 1.

d) 0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤ sen x.

e) 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ arctg x.

f)

g 2 2 ) y ≤ 2 x − x , y ≥ 0.

h)

2. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do

conjunto de todos os (x, y) tais que

a)

b)

c) 0 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ 2 e y ≥ ln x.

d)

e 2 ) 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ x + 1.

 

3. (Volume de sólido de revolução em torno do eixo y.) Suponha f

estritamente crescente e com derivada contínua em [a, b], a ≥ 0 e f(a) = 0. Seja g: [0, f(b)] → [a, b] a função inversa de f.

a) Verifique que o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo

y, do conjunto

 

b) Mostre que

 

(Sugestão: Faça a mudança de variável y = f(x) e depois integre por partes.)

c) Conclua que o volume mencionado em a é